Os raios atômicos dos íons \mathrm{K}^{+}e \mathrm{Br}^{-}são: \mathrm{rK}^{+}=0,138 \mathrm{~nm} \mathrm{e} \mathrm{rBr}^{-}=0,196 \mathrm{~nm}.
(a) Usando as equações seguintes, calcule a força de atração entre esses dois íons na sua separação inter iônica de equilíbrio (ou seja, quando os íons estão apenas se tocando).
(b) Qual é a força de repulsão nessa mesma distância de separação?
\begin{gathered} E_{A t r a c ̧ a ̃ o}=-\frac{A}{r} \\\ A=\frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}}\left(\left|Z_{1}\right| e\right)\left(\left|Z_{2}\right| e\right) \end{gathered}̧
\epsilon_{0} é a permissividade do vácuo ( 8,85 \times 10^{-12} \mathrm{~F} / \mathrm{m} ); \left|\mathrm{Z}_{1}\right| e \left|\mathrm{Z}_{2}\right| são os valores absolutos das valências dos dois tipos de íons; e é a carga do elétron \left(1,602 \times 10^{-19} \mathrm{C}\right).
(c) A força de atração entre um cátion divalente e um ânion divalente é 1,67 \times 10^{-8}
N . Se o raio iônico do cátion for 0,080 \mathrm{~nm}, qual é o raio do ânion?

Passo 1

O enunciado trata de calcular forças entre íons usando o potencial eletrostático de Coulomb
U(r)=-\frac{A}{r}
onde
A=\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\,(|Z_{1}|e)\,(|Z_{2}|e)
Aqui: \epsilon_{0}=8{,}85\times10^{-12}\,\mathrm{F/m}, e=1{,}602\times10^{-19}\,\mathrm{C}, e para \mathrm{K}^+ e \mathrm{Br}^- temos |Z_{1}|=|Z_{2}|=1. Em equilíbrio a força de atração
F_{\text{atr}}=-\frac{dU}{dr}=\frac{A}{r^{2}}
é equilibrada pela mesma força de repulsão em módulo.

Passo 2

Calcular a distância interiônica de equilíbrio
\text{r}_{\text{K}^+}=0{,}138\,\mathrm{nm},\quad \text{r}_{\text{Br}^-}=0{,}196\,\mathrm{nm}
r=\text{r}_{\text{K}^+}+\text{r}_{\text{Br}^-} =0{,}138+0{,}196=0{,}334\,\mathrm{nm} =3{,}34\times10^{-10}\,\mathrm{m}

Passo 3

Calcular A para íons monovalentes e em seguida F_{\text{atr}}.
A=\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\,e^{2} =k\,e^{2} \quad\text{com}\;\;k=8{,}99\times10^{9}\,\mathrm{N\,m^{2}/C^{2}}
A=8{,}99\times10^{9}\times(1{,}602\times10^{-19})^{2} \approx2{,}31\times10^{-28}\,\mathrm{J\cdot m}
F_{\text{atr}}=\frac{A}{r^{2}} =\frac{2{,}31\times10^{-28}}{(3{,}34\times10^{-10})^{2}} \approx2{,}07\times10^{-9}\,\mathrm{N}

Passo 4

Em equilíbrio a força de repulsão tem módulo igual ao da atração, portanto
F_{\text{rep}}=F_{\text{atr}} \approx2{,}07\times10^{-9}\,\mathrm{N}
e aponta no sentido de afastar os íons.

Passo 5

Para íons divalentes |Z_{1}|=|Z_{2}|=2 com força de atração conhecida
F_{\text{atr}}=1{,}67\times10^{-8}\,\mathrm{N}
temos
A'=\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\,(2e)\,(2e) =4\,k\,e^{2} \approx4\times2{,}31\times10^{-28} =9{,}24\times10^{-28}\,\mathrm{J\cdot m}
e
F_{\text{atr}}=\frac{A'}{r^{2}} \quad\Longrightarrow\quad r^{2}=\frac{A'}{F_{\text{atr}}} =\frac{9{,}24\times10^{-28}}{1{,}67\times10^{-8}} \approx5{,}53\times10^{-20}\,\mathrm{m^{2}}
r=\sqrt{5{,}53\times10^{-20}} \approx2{,}35\times10^{-10}\,\mathrm{m} =0{,}235\,\mathrm{nm}
Se o cátion tem raio 0{,}080\,\mathrm{nm}, o ânion vale
r_{\text{ânion}} =r-0{,}080 =0{,}235-0{,}080 =0{,}155\,\mathrm{nm}.â

Resposta

(a) F_{\text{atr}}=2{,}07\times10^{-9}\,\mathrm{N}
(b) F_{\text{rep}}=2{,}07\times10^{-9}\,\mathrm{N}
(c) r_{\text{ânion}}=0{,}155\,\mathrm{nm}â

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