Raios-X, de exames laboratoriais típicos para detecção de fratura de ossos, são da ordem de 10 nanômetros de comprimento de onda. Sabendo-se que tais feixes viajam praticamente a velocidade da luz, responda: (a) Qual a freqüência destes raios-x? (b) Qual a energia desse feixe de raios-X?
“Se o mal realmente existe nesse mundo, ele habita o coração dos homens” (E. D. Morrison)

Passo 1

O enunciado dá que o comprimento de onda dos raios-X é \lambda=10 nanômetros e que esses feixes viajam praticamente à velocidade da luz. As perguntas são: (a) qual a frequência desse raio-X? (b) qual a energia desse feixe?\
Informações e constantes que vamos usar (tudo fornecido ou padrão): \lambda=10\\ \text{nm}, velocidade da luz aproximada \;c\approx3,00\times10^{8}\\ \text{m}\,\text{s}^{-1}, constante de Planck \;h=6,626\times10^{-34}\\ \text{J}\,\text{s}, e conversão de energia \;1\\ \text{eV}=1,602\times10^{-19}\\ \text{J}. Não vou assumir nada além disso.

Passo 2

Primeiro passo prático: converter o comprimento de onda para metros (porque c está em \text{m}\,\text{s}^{-1}). Lembre que 1\\ \text{nm}=10^{-9}\\ \text{m}. Então
\lambda = 10\\ \text{nm} = 10\times10^{-9}\\ \text{m} = 1,0\times10^{-8}\\ \text{m}.
Explicando: coloquei o número em notação científica para facilitar a conta com potências de dez.

Passo 3

Fórmula que relaciona frequência, velocidade e comprimento de onda: a frequência \,f, o comprimento de onda \,\lambda e a velocidade de propagação \,v satisfazem
f=\frac{v}{\lambda}.
Aqui f é o número de oscilações por segundo (unidade Hz), v é a velocidade da onda (aqui usamos v\approx c) e \lambda é o comprimento de onda em metros. Substituindo v=c e os valores:
f=\frac{3,00\times10^{8}}{1,0\times10^{-8}}=3,00\times10^{16}\\ \text{Hz}.
Comentário didático: a divisão de potências de dez faz \;10^{8}/10^{-8}=10^{16}, e os coeficientes 3,00/1,0=3,00.

Passo 4

Agora calculamos a energia de um fóton desse feixe usando a relação de Planck:
E=h\,f,
onde E é a energia em joules, h é a constante de Planck e f é a frequência. Substituindo os valores:
E=(6,626\times10^{-34})\times(3,00\times10^{16})=1,9878\times10^{-17}\\ \text{J}.
Explicando a conta: multiplicamos os coeficientes 6,626\times3,00=19,878 e somamos expoentes -34+16=-18, o que dá 19,878\times10^{-18}=1,9878\times10^{-17}. Podemos arredondar razoavelmente para duas casas significativas: E\approx1,99\times10^{-17}\\ \text{J} ou 2,0\times10^{-17}\\ \text{J}.

Passo 5

Geralmente em física de radiação é prático expressar energia em elétron-volts. Para converter usamos
1\\ \text{eV}=1,602\times10^{-19}\\ \text{J},
então
E_{\text{(eV)}}=\frac{E_{\text{(J)}}}{1,602\times10^{-19}}=\frac{1,9878\times10^{-17}}{1,602\times10^{-19}}=1,241\times10^{2}\\ \text{eV}=124,1\\ \text{eV}.
Comentário pedagógico: existe também a fórmula prática E(\text{eV})\approx\frac{1240}{\lambda(\text{nm})}. Aplicando aqui \lambda=10\\ \text{nm} E\approx124\\ \text{eV}, consistente com o cálculo acima. Arredondando, E\approx124\\ \text{eV}.

Passo 6

Resumo interpretativo (rápido e motivador): a frequência é muito alta, \sim10^{16}\\ \text{Hz}, e a energia por fóton é \sim10^{-17}\\ \text{J} ou \sim10^{2}\\ \text{eV}. Esses valores situam a radiação na faixa de raios-X brandos / ultravioleta extremo — é energia suficiente para efeitos ionizantes em nível microscópico, por isso exames radiográficos são feitos com controle e proteção.

Resposta

(a) f=3,00\times10^{16}\\ \text{Hz}
(b) E=1,99\times10^{-17}\\ \text{J}=1,24\times10^{2}\\ \text{eV}

Exercícios relacionados