No milênio passado houve um projeto que buscava contato com civilizações inteligentes no cosmos. A idéia era enviar uma mensagem criptografada, através de uma sonda, até a galáxia mais próxima - a galáxia de Andrômeda - cerca de 2,5 milhões de anos-luz de distância. Supondo que tal sonda possa viajar a 96 por cento da rapidez da luz, e que essa sonda perde contato com a Terra em cerca de 24 h do referencial da sonda, responda: (a) Qual o fator de dilatação temporal? (b) Quanto tempo teria se passado no referencial da Terra até que a sonda alcançasse a galáxia vizinha?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas claras:
  • Velocidade da sonda: \;v=0{,}96\,c (ou seja, noventa e seis por cento da velocidade da luz).
  • Distância até Andrômeda: \;D=2{,}5\times 10^{6} anos-luz.
  • A sonda “perde contato” após cerca de \;24 horas no referencial da própria sonda (essa informação será usada para ilustrar a dilatação, mas a pergunta (b) pede o tempo de viagem medido em Terra).
    As perguntas:
    (a) Qual o fator de dilatação temporal?
    (b) Quanto tempo teria se passado no referencial da Terra até que a sonda alcançasse Andrômeda?

Passo 2

Vamos lembrar a fórmula que usamos para calcular o fator de dilatação temporal (o chamado fator de Lorentz). A fórmula é
\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\dfrac{v^{2}}{c^{2}}}}.
Explicando cada termo de forma simples:
  • \gamma é o fator de dilatação (sempre maior ou igual a 1).
  • v é a velocidade do objeto observado (aqui a sonda).
  • c é a velocidade da luz.
    A ideia física: um relógio em movimento relativo parece “rodar mais devagar” para um observador em repouso; o tempo próprio \Delta\tau (medido no relógio que se move) e o tempo coordenado \Delta t (medido pelo observador em repouso) relacionam-se por
\Delta t=\gamma\,\Delta\tau.

Passo 3

Calculemos \gamma com \;v=0{,}96\,c.
Primeiro calcule o quadrado da velocidade relativa a c:
\frac{v^{2}}{c^{2}}=(0{,}96)^{2}=0{,}9216.
Agora
1-\frac{v^{2}}{c^{2}}=1-0{,}9216=0{,}0784.
A raiz quadrada disso é
\sqrt{0{,}0784}=0{,}28.
Logo
\gamma=\frac{1}{0{,}28}=3{,}571428\ldots
Arredondando de forma prática:
\gamma\approx 3{,}57.

Passo 4

Interpretação prática da parte (a): \gamma\approx 3{,}57 significa que, para cada 1 unidade de tempo que passa a bordo da sonda, cerca de 3{,}57 unidades de tempo passam no referencial da Terra. Por exemplo, os \;24 horas medidos a bordo correspondem, no referencial da Terra, a
\Delta t=\gamma\,\Delta\tau \approx 3{,}5714\times 24\\ \text{h}\approx 85{,}7\\ \text{h}\approx 3{,}57\\ \text{dias}.
(Isto só ilustra a dilatação; a pergunta (b) pede o tempo total de viagem medido em Terra.)

Passo 5

Agora calculamos o tempo de viagem medido no referencial da Terra. No referencial da Terra, a sonda percorre a distância D com velocidade v, portanto o tempo é
\Delta t_{\text{Terra}}=\frac{D}{v}.
Usamos a conveniência: 1 ano-luz é a distância que a luz percorre em 1 ano, então percorrer 1 ano-luz à velocidade c leva 1 ano. Assim, medir distância em anos-luz e velocidade em frações de c dá o tempo em anos diretamente. Substituindo:
\Delta t_{\text{Terra}}=\frac{2{,}5\times 10^{6}\\ \text{anos-luz}}{0{,}96\,c} =\frac{2{,}5\times 10^{6}}{0{,}96}\\ \text{anos}.

Passo 6

Faça a conta numérica:
\frac{2{,}5\times 10^{6}}{0{,}96}=2{,}604166\ldots\times 10^{6}.
Arredondando de maneira prática:
\Delta t_{\text{Terra}}\approx 2{,}60\times 10^{6}\\ \text{anos},
ou seja, aproximadamente 2{,}6 milhões de anos. (Este é o tempo que se passa na Terra até a sonda chegar em Andrômeda.)

Passo 7

Observação final e incentivo: a dilatação mostrada em (a) transforma horas em dias entre quadros de referência, mas a viagem entre galáxias leva milhões de anos na escala da Terra. Se quiser, eu mostro também como calcular o tempo próprio a bordo da sonda para a viagem inteira (usaríamos \Delta\tau=\Delta t_{\text{Terra}}/\gamma) — diz se você quer esse número também. Força nos estudos — você já está indo bem ao pedir explicações passo a passo!

Resposta

(a) \gamma\approx 3{,}57
(b) \Delta t_{\text{Terra}}\approx 2{,}60\times 10^{6}\\ \text{anos}

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