No milênio passado houve um projeto que buscava contato com civilizações inteligentes no cosmos. A idéia era enviar uma mensagem criptografada, através de uma sonda, até a galáxia mais próxima - a galáxia de Andrômeda - cerca de 2,5 milhões de anos-luz de distância. Supondo que tal sonda possa viajar a 96 por cento da rapidez da luz, e que essa sonda perde contato com a Terra em cerca de 24 h do referencial da sonda, responda: (a) Qual o fator de dilatação temporal? (b) Quanto tempo teria se passado no referencial da Terra até que a sonda alcançasse a galáxia vizinha?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas claras:
- Velocidade da sonda:
(ou seja, noventa e seis por cento da velocidade da luz). - Distância até Andrômeda:
anos-luz. - A sonda “perde contato” após cerca de
horas no referencial da própria sonda (essa informação será usada para ilustrar a dilatação, mas a pergunta (b) pede o tempo de viagem medido em Terra).
As perguntas:
(a) Qual o fator de dilatação temporal?
(b) Quanto tempo teria se passado no referencial da Terra até que a sonda alcançasse Andrômeda?
Passo 2
Vamos lembrar a fórmula que usamos para calcular o fator de dilatação temporal (o chamado fator de Lorentz). A fórmula é
Explicando cada termo de forma simples:
-
é o fator de dilatação (sempre maior ou igual a ). -
é a velocidade do objeto observado (aqui a sonda). -
é a velocidade da luz.
A ideia física: um relógio em movimento relativo parece “rodar mais devagar” para um observador em repouso; o tempo próprio(medido no relógio que se move) e o tempo coordenado (medido pelo observador em repouso) relacionam-se por
Passo 3
Calculemos
com
.
Primeiro calcule o quadrado da velocidade relativa a :
Primeiro calcule o quadrado da velocidade relativa a
Agora
A raiz quadrada disso é
Logo
Arredondando de forma prática:
Passo 4
Interpretação prática da parte (a):
significa que, para cada
unidade de tempo que passa a bordo da sonda, cerca de
unidades de tempo passam no referencial da Terra. Por exemplo, os
horas medidos a bordo correspondem, no referencial da Terra, a
(Isto só ilustra a dilatação; a pergunta (b) pede o tempo total de viagem medido em Terra.)
Passo 5
Agora calculamos o tempo de viagem medido no referencial da Terra. No referencial da Terra, a sonda percorre a distância
com velocidade
, portanto o tempo é
Usamos a conveniência:
ano-luz é a distância que a luz percorre em
ano, então percorrer
ano-luz à velocidade
leva
ano. Assim, medir distância em anos-luz e velocidade em frações de
dá o tempo em anos diretamente. Substituindo:
Passo 6
Faça a conta numérica:
Arredondando de maneira prática:
ou seja, aproximadamente
milhões de anos. (Este é o tempo que se passa na Terra até a sonda chegar em Andrômeda.)
Passo 7
Observação final e incentivo: a dilatação mostrada em (a) transforma horas em dias entre quadros de referência, mas a viagem entre galáxias leva milhões de anos na escala da Terra. Se quiser, eu mostro também como calcular o tempo próprio a bordo da sonda para a viagem inteira (usaríamos
) — diz se você quer esse número também. Força nos estudos — você já está indo bem ao pedir explicações passo a passo!
Resposta
(a)
(b)
(b)