2-2(x-a)+raiz5(x-a)^2-pi2(x-a)^3+(x-3)^4+13(x-a)^5
Calcule f^(3)(a).
Escolha uma opção:
2 raiz5
-pi2
24
raiz5
-3 pi

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos dá uma função igualzinha a essa:
f(x) = 2 - 2(x - a) + raiz5(x - a)^2 - pi2(x - a)^3 + (x - 3)^4 + 13(x - a)^5
A gente precisa calcular a terceira derivada dessa função no ponto $ x = a $, ou seja, $ f’’’(a) $. Para isso, vamos usar técnicas de derivação de funções polinomiais e entender como cada termo da função contribui para a derivada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a derivada de uma constante é zero. No nosso caso, o termo $ 2 $ é uma constante, então sua derivada vai ser zero. Isso simplifica um pouco a função.

Passo 3

Agora, vamos olhar para cada termo da função e calcular suas derivadas passo a passo até a terceira derivada:
  1. Termo: $ -2(x - a) $
    • 1ª derivada: $ -2 $
    • 2ª derivada: $ 0 $ (porque a derivada de uma constante é zero)
    • 3ª derivada: $ 0 $
  2. Termo: $ \sqrt{5}(x - a)^2 $
    • 1ª derivada: $ 2\sqrt{5}(x - a) $
    • 2ª derivada: $ 2\sqrt{5} $
    • 3ª derivada: $ 0 $
  3. Termo: $ -\frac{\pi}{2}(x - a)^3 $
    • 1ª derivada: $ -\frac{3\pi}{2}(x - a)^2 $
    • 2ª derivada: $ -3\pi(x - a) $
    • 3ª derivada: $ -3\pi $
  4. Termo: $ (x - 3)^4 $
    • 1ª derivada: $ 4(x - 3)^3 $
    • 2ª derivada: $ 12(x - 3)^2 $
    • 3ª derivada: $ 24(x - 3) $
    • Avaliando em $ x = a $: $ 24(a - 3) $ (Isso não é zero, mas vamos manter isso em mente)
  5. Termo: $ 13(x - a)^5 $
    • 1ª derivada: $ 65(x - a)^4 $
    • 2ª derivada: $ 260(x - a)^3 $
    • 3ª derivada: $ 780(x - a)^2 $
    • Avaliando em $ x = a $: $ 780 \times 0 = 0 $

Passo 4

Agora, somando todas as terceiras derivadas dos termos:
0 + 0 + (-3pi) + 24(a - 3) + 0 = -3pi + 24(a - 3)
Mas precisamos lembrar que estamos calculando em $ x = a $. No termo $ 24(a - 3) $, $ a $ é uma constante, então o resultado depende do valor de $ a $. No entanto, olhando as opções de resposta fornecidas, nenhuma delas inclui $ a $, o que indica que talvez haja uma simplificação ou que a expressão de $ f(x) $ tenha um erro de digitação.
No entanto, assumindo que o termo $ (x - 3)^4 $ está correto, e se $ a = 3 $, então:
x = a

Resposta

-3 pi

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