Encontre a integral que calcula o volume do sólido de revolução obtido ao girar a região S delimitada pelas curvas y=x^3+3, y=x+9 e y=-x2+3 em torno do eixo x=4 usando o Método das Cascas.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrarmos a integral que calcula o volume de um sólido gerado ao girar uma região $ S $ em torno do eixo $ x = 4 $ usando o Método das Cascas. Aqui, estamos lidando com o cálculo de volumes de sólidos por revolução, especificamente usando as cascas cilíndricas. Para resolver isso, vamos precisar identificar as curvas que delimitam a região, encontrar os pontos de interseção delas para definir os limites de integração e, depois, montar a integral usando o método das cascas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as curvas que delimitam a região $ S $:
  • $ y = x^{3} + 3 $
  • $ y = x + 9 $
  • $ y = -\frac{x}{2} + 3 $
Para saber exatamente qual região estamos rodando, precisamos encontrar onde essas curvas se encontram. Isso nos dará os limites de integração.

Passo 3

Vamos encontrar os pontos de interseção das curvas:
  1. Entre $ y = x^{3} + 3 $ e $ y = x + 9 $:
y = x^3 + 3
Resolvendo essa equação, encontramos $ x = 2 $.
  1. Entre $ y = x^{3} + 3 $ e $ y = -\frac{x}{2} + 3 $:
y = x + 9
Aqui, a única solução real é $ x = 0 $.
  1. Entre $ y = x + 9 $ e $ y = -\frac{x}{2} + 3 $:
x^3 + 3 = x + 9 implies x^3 - x - 6 = 0
Então, os pontos de interseção são $ x = -4 $, $ x = 0 $ e $ x = 2 $.

Passo 4

Agora que temos os limites de integração, vamos aplicar o Método das Cascas. A fórmula geral para o volume usando esse método é:
V = 2pi integrala^b (raio) times (a
Aqui:
  • Raio: A distância do eixo de rotação ($ x = 4 $) até o elemento da casca localizado em $ x $. Então, $ raio = |4 - x| $.
  • Altura: A diferença entre as funções que limitam a região na vertical. Precisamos identificar qual função está por cima em cada intervalo.

Passo 5

Observando os intervalos:
  • De $ x = -4 $ a $ x = 0 $, a função superior é $ y = x + 9 $ e a inferior é $ y = -\frac{x}{2} + 3 $.
  • De $ x = 0 $ a $ x = 2 $, a função superior é $ y = x + 9 $ e a inferior é $ y = x^{3} + 3 $.
Então, vamos dividir a integral em duas partes para considerar essas diferenças.

Passo 6

Montando a integral:
Para $ x $ de $ -4 $ a $ 0 $:
x
Para $ x $ de $ 0 $ a $ 2 $:
-4

Resposta

O volume do sólido é dado por:
V = 2pi [ integral-4^0 (4 - x) ( (x + 9) - (-x2 + 3) ) , dx + integral0^2 (4 - x) ( (x + 9) - (x^3 + 3) ) , dx ]

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