Encontre a integral que calcula o volume do sólido de revolução obtido ao girar a região
delimitada pelas curvas
e
em torno do eixo
usando o Método das Cascas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrarmos a integral que calcula o volume de um sólido gerado ao girar uma região $ S $ em torno do eixo $ x = 4 $ usando o Método das Cascas. Aqui, estamos lidando com o cálculo de volumes de sólidos por revolução, especificamente usando as cascas cilíndricas. Para resolver isso, vamos precisar identificar as curvas que delimitam a região, encontrar os pontos de interseção delas para definir os limites de integração e, depois, montar a integral usando o método das cascas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as curvas que delimitam a região $ S $:
- $ y = x^{3} + 3 $
- $ y = x + 9 $
- $ y = -\frac{x}{2} + 3 $
Para saber exatamente qual região estamos rodando, precisamos encontrar onde essas curvas se encontram. Isso nos dará os limites de integração.
Passo 3
Vamos encontrar os pontos de interseção das curvas:
- Entre $ y = x^{3} + 3 $ e $ y = x + 9 $:
Resolvendo essa equação, encontramos $ x = 2 $.
- Entre $ y = x^{3} + 3 $ e $ y = -\frac{x}{2} + 3 $:
Aqui, a única solução real é $ x = 0 $.
- Entre $ y = x + 9 $ e $ y = -\frac{x}{2} + 3 $:
Então, os pontos de interseção são $ x = -4 $, $ x = 0 $ e $ x = 2 $.
Passo 4
Agora que temos os limites de integração, vamos aplicar o Método das Cascas. A fórmula geral para o volume usando esse método é:
Aqui:
- Raio: A distância do eixo de rotação ($ x = 4 $) até o elemento da casca localizado em $ x $. Então, $ raio = |4 - x| $.
- Altura: A diferença entre as funções que limitam a região na vertical. Precisamos identificar qual função está por cima em cada intervalo.
Passo 5
Observando os intervalos:
- De $ x = -4 $ a $ x = 0 $, a função superior é $ y = x + 9 $ e a inferior é $ y = -\frac{x}{2} + 3 $.
- De $ x = 0 $ a $ x = 2 $, a função superior é $ y = x + 9 $ e a inferior é $ y = x^{3} + 3 $.
Então, vamos dividir a integral em duas partes para considerar essas diferenças.
Passo 6
Montando a integral:
Para $ x $ de $ -4 $ a $ 0 $:
Para $ x $ de $ 0 $ a $ 2 $:
Resposta
O volume do sólido é dado por: