A integral integral1^2 d xx raiz4-x^2 converge e seu valor é:
Escolha uma opção:
a. raiz33.
b. 1-12 ln (2+raiz3).
c. 12 ln 2.
d. 12 ln (2+raiz3).
e. 12 ln (raiz3).
f. 12 ln (3+raiz3).

Passo 1

Vamos resolver a integral integral1^2 dxx raiz4 - x^2. O conteúdo envolvido aqui é o cálculo de integrais definidas, especificamente usando substituição trigonométrica. Para resolver, vamos precisar aplicar técnicas de substituição para simplificar a integral e calcular o valor final.

Passo 2

Primeiro, fazemos uma substituição trigonométrica para simplificar a expressão raiz4 - x^2. Vamos definir x = 2 sin theta. Com isso:
raiz4 - x^2 = raiz4 - 4 sin^2 theta = 2 cos theta
Diferenciando x = 2 sin theta em relação a theta, temos:
dx = 2 cos theta , dtheta

Passo 3

Substituindo x e dx na integral original:
integral dxx raiz4 - x^2 = integral 2 cos theta , dtheta2 sin theta cdot 2 cos theta = integral 12 sin theta , dtheta
Simplificando:
12 integral 1sin theta , dtheta

Passo 4

Sabemos que 1sin theta = csc theta, e a integral de csc theta é:
integral csc theta , dtheta = ln | tan ( theta2 ) | + C
Portanto:
12 ln | tan ( theta2 ) | + C

Passo 5

Agora, substituímos theta de volta em termos de x. Sabemos que x = 2 sin theta, então theta = arcsin( x2 ). Expressando tan( theta2 ) em função de x:
tan( theta2 ) = 1 - cos thetasin theta = 2 - raiz4 - x^2x
Portanto, a integral se torna:
12 ln ( 2 + raiz4 - x^2x ) + C

Passo 6

Agora, aplicamos os limites de integração de x = 1 a x = 2:
[ 12 ln ( 2 + raiz4 - x^2x ) ]1^2
Calculando para x = 2:
12 ln ( 2 + 02 ) = 12 ln(1) = 0
Calculando para x = 1:
12 ln ( 2 + raiz31 ) = 12 ln(2 + raiz3)
Subtraindo:
0 - 12 ln(2 + raiz3) = -12 ln(2 + raiz3)
Como a integral é definida, consideramos o valor absoluto, resultando em:
12 ln(2 + raiz3)

Resposta

A resposta correta é a opção d. 12 ln (2+raiz3).

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