Uma empresa tem duas fábricas: a unidade A responde por
da produção e a unidade B , por
. A taxa de rejeição é
na A e
na B .
(a) Qual o percentual geral de rejeição da empresa?
(b) Dado que houve rejeição, qual a probabilidade desta rejeição ter vindo da unidade B ?
(a) Qual o percentual geral de rejeição da empresa?
(b) Dado que houve rejeição, qual a probabilidade desta rejeição ter vindo da unidade B ?
Passo 1
O enunciado dá a produção dividida entre duas fábricas e as taxas de rejeição, e pede duas coisas:
- Dados do enunciado (peguei estes números do enunciado):
- Unidade A responde por
da produção. - Unidade B responde por
da produção. - Taxa de rejeição em A:
. - Taxa de rejeição em B:
.
- Unidade A responde por
- Perguntas:
(a) Qual o percentual geral de rejeição da empresa?
(b) Dado que houve rejeição, qual a probabilidade dessa rejeição ter vindo da unidade B?
Passo 2
Definindo eventos e notação (isso ajuda a pensar claro na prova):
- Seja
o evento “peça vem da unidade A” e o evento “peça vem da unidade B”. - Seja
o evento “peça é rejeitada”. - Das informações:
, , , .
O que queremos calcular em termos de probabilidade: - (a)
(a taxa geral de rejeição). - (b)
(probabilidade da peça ter vindo de B dado que foi rejeitada).
Passo 3
Como calcular
: use a lei da probabilidade total, que diz que se
cobrem todas as origens possíveis,
Essa fórmula faz sentido: a probabilidade de rejeição é a soma das probabilidades de rejeição vindo de cada fábrica, ponderadas pela participação de cada uma.
Passo 4
Calculemos numericamente
passo a passo (sem necessidade de calculadora, usando frações se preferir):
- Em décimais:
Multiplicando: e .
Somando:. - Em porcentagem isso é
.
(Dica rápida sem calculadora: escrevendo em frações,
,
,
,
.
Então .)
Então
Passo 5
Agora (b): queremos
. Use o Teorema de Bayes, que diz
Intuição: entre todas as peças rejeitadas, qual fração veio de B? é a parte da rejeição atribuível a B dividido pelo total de rejeição.
Passo 6
Calculemos
com os números que já temos:
- O numerador é
. - O denominador é
(calculado antes).
Logo
Simplificando a fração:
.
Em porcentagem isso é .
Em porcentagem isso é
Resposta
(a)
(b)
(b)