Uma empresa tem duas fábricas: a unidade A responde por 60 \% da produção e a unidade B , por 40 \%. A taxa de rejeição é 2 \% na A e 5 \% na B .
(a) Qual o percentual geral de rejeição da empresa?
(b) Dado que houve rejeição, qual a probabilidade desta rejeição ter vindo da unidade B ?

Passo 1

O enunciado dá a produção dividida entre duas fábricas e as taxas de rejeição, e pede duas coisas:
  • Dados do enunciado (peguei estes números do enunciado):
    • Unidade A responde por 60\% da produção.
    • Unidade B responde por 40\% da produção.
    • Taxa de rejeição em A: 2\%.
    • Taxa de rejeição em B: 5\%.
  • Perguntas:
    (a) Qual o percentual geral de rejeição da empresa?
    (b) Dado que houve rejeição, qual a probabilidade dessa rejeição ter vindo da unidade B?

Passo 2

Definindo eventos e notação (isso ajuda a pensar claro na prova):
  • Seja A o evento “peça vem da unidade A” e B o evento “peça vem da unidade B”.
  • Seja R o evento “peça é rejeitada”.
  • Das informações: \Pr(A)=0,6, \Pr(B)=0,4, \Pr(R\mid A)=0,02, \Pr(R\mid B)=0,05.
    O que queremos calcular em termos de probabilidade:
  • (a) \Pr(R) (a taxa geral de rejeição).
  • (b) \Pr(B\mid R) (probabilidade da peça ter vindo de B dado que foi rejeitada).

Passo 3

Como calcular \Pr(R): use a lei da probabilidade total, que diz que se \{A,B\} cobrem todas as origens possíveis,
\Pr(R)=\Pr(R\mid A)\Pr(A)+\Pr(R\mid B)\Pr(B).
Essa fórmula faz sentido: a probabilidade de rejeição é a soma das probabilidades de rejeição vindo de cada fábrica, ponderadas pela participação de cada uma.

Passo 4

Calculemos numericamente \Pr(R) passo a passo (sem necessidade de calculadora, usando frações se preferir):
  • Em décimais: \Pr(R)=0,02\cdot 0,6 + 0,05\cdot 0,4.Multiplicando: 0,02\cdot 0,6=0,012 e 0,05\cdot 0,4=0,02.
    Somando: 0,012+0,02=0,032.
  • Em porcentagem isso é \,0,032=3,2\%.
(Dica rápida sem calculadora: escrevendo em frações,
\Pr(A)=\tfrac{3}{5}, \Pr(B)=\tfrac{2}{5}, \Pr(R\mid A)=\tfrac{1}{50}, \Pr(R\mid B)=\tfrac{1}{20}.
Então \Pr(R)=\tfrac{3}{5}\cdot\tfrac{1}{50}+\tfrac{2}{5}\cdot\tfrac{1}{20}=\tfrac{3}{250}+\tfrac{1}{50}=\tfrac{8}{250}=\tfrac{4}{125}=0,032.)

Passo 5

Agora (b): queremos \Pr(B\mid R). Use o Teorema de Bayes, que diz
\Pr(B\mid R)=\frac{\Pr(R\mid B)\Pr(B)}{\Pr(R)}.
Intuição: entre todas as peças rejeitadas, qual fração veio de B? é a parte da rejeição atribuível a B dividido pelo total de rejeição.

Passo 6

Calculemos \Pr(B\mid R) com os números que já temos:
  • O numerador é \Pr(R\mid B)\Pr(B)=0,05\cdot 0,4=0,02.
  • O denominador é \Pr(R)=0,032 (calculado antes).
    Logo
\Pr(B\mid R)=\frac{0,02}{0,032}.
Simplificando a fração: \dfrac{0,02}{0,032}=\dfrac{20}{32}=\dfrac{5}{8}=0,625.
Em porcentagem isso é 62,5\%.

Resposta

(a) 3,2\%
(b) 62,5\%

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