Suponha que no Supermercado Ki Preço a probabilidade de um cliente esperar 10 minutos ou mais na fila do caixa é de
. Certo dia, o Capitão Rapadura e sua esposa decidem fazer compras separadamente, cada um dirigindo-se a um caixa diferente. Se eles entrarem na fila do caixa ao mesmo tempo, determine:
(a) a probabilidade de o Capitão Rapadura esperar menos de 10 minutos na fila;
(b) a probabilidade de ambos esperarem menos de 10 minutos, supondo que os tempos de atendimento dos dois eventos sejam independentes;
(c) a probabilidade de um ou outro, ou ambos, esperarem 10 minutos ou mais.
(a) a probabilidade de o Capitão Rapadura esperar menos de 10 minutos na fila;
(b) a probabilidade de ambos esperarem menos de 10 minutos, supondo que os tempos de atendimento dos dois eventos sejam independentes;
(c) a probabilidade de um ou outro, ou ambos, esperarem 10 minutos ou mais.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- Dado: a probabilidade de um cliente esperar 10 minutos ou mais na fila é
.
Vou chamar o evento “esperar 10 minutos ou mais” de. Então tenho - Situação: o Capitão Rapadura e sua esposa entram em filas diferentes ao mesmo tempo. Pressupõe-se que os tempos de espera dos dois caixas são eventos distintos; na parte (b) o enunciado diz para assumir independência entre esses dois eventos.
O enunciado pede três coisas:
(a) a probabilidade de o Capitão Rapadura esperar menos de 10 minutos na fila;
(b) a probabilidade de ambos (Capitão e esposa) esperarem menos de 10 minutos, supondo independência;
(c) a probabilidade de “um ou outro, ou ambos” esperarem 10 minutos ou mais — isto é, a probabilidade de que pelo menos uma das duas pessoas espere minutos.
(a) a probabilidade de o Capitão Rapadura esperar menos de 10 minutos na fila;
(b) a probabilidade de ambos (Capitão e esposa) esperarem menos de 10 minutos, supondo independência;
(c) a probabilidade de “um ou outro, ou ambos” esperarem 10 minutos ou mais — isto é, a probabilidade de que pelo menos uma das duas pessoas espere
Passo 2
Entendendo o complemento (fórmula e ideia).
Se é o evento “esperar 10 minutos ou mais”, então o evento complementar
é “esperar menos de 10 minutos”. A regra do complemento é simples e essencial:
Se
Aqui cada probabilidade é um número entre 0 e 1; somando a probabilidade de um evento e de seu complementar obtemos 1 (algo vai acontecer ou o contrário vai acontecer).
Passo 3
Aplicando o complemento ao caso (a).
Temos . Logo
Temos
Interpretação: a probabilidade de o Capitão Rapadura esperar menos de 10 minutos é
, ou seja
.
Passo 4
Entendendo independência e a regra do produto (fórmula e ideia).
Dois eventos e
são independentes quando a ocorrência de um não altera a probabilidade do outro. Para eventos independentes vale a regra:
Dois eventos
No contexto: “Capitão espera menos de 10 min” é
para ele, e “esposa espera menos de 10 min” é um evento análogo
para ela. Se os tempos são independentes e as probabilidades são iguais (cada um tem
), a probabilidade de ambos ocorrerem é o produto das probabilidades individuais.
Passo 5
Calculando (b) usando o produto.
Com independência,
Com independência,
Em porcentagem isso é
.
Passo 6
Interpretando “um ou outro, ou ambos” e métodos para calcular (c).
“Um ou outro, ou ambos esperarem 10 minutos ou mais” significa “pelo menos um espera minutos”. A maneira mais prática é usar o complementar: isso é o complemento do evento “nenhum espera
minutos”, ou seja, complemento do evento “ambos esperam menos de 10 minutos”. Assim
“Um ou outro, ou ambos esperarem 10 minutos ou mais” significa “pelo menos um espera
Como já calculamos
, segue que
Passo 7
Verificação alternativa (fórmula da união) — bom para checar a conta.
Se e
são os eventos "Capitão espera
" e "Esposa espera
", então
Se
Com independência e
temos
. Assim
o mesmo resultado obtido pelo complemento — sinal de que está correto.
Passo 8
Dicas rápidas para a prova (resumo mental):
- Use complemento sempre que for “pelo menos um” ou “um ou outro ou ambos”; costuma simplificar bastante.
- Para eventos independentes, multiplica-se para interseção; para a união use
. - Guardar na cabeça:
, complemento ; ; . Você consegue!
Resposta
(a)
(ou
)
(b) (ou
)
(c) (ou
)
(b)
(c)