Suponha que no Supermercado Ki Preço a probabilidade de um cliente esperar 10 minutos ou mais na fila do caixa é de 25 \%. Certo dia, o Capitão Rapadura e sua esposa decidem fazer compras separadamente, cada um dirigindo-se a um caixa diferente. Se eles entrarem na fila do caixa ao mesmo tempo, determine:
(a) a probabilidade de o Capitão Rapadura esperar menos de 10 minutos na fila;
(b) a probabilidade de ambos esperarem menos de 10 minutos, supondo que os tempos de atendimento dos dois eventos sejam independentes;
(c) a probabilidade de um ou outro, ou ambos, esperarem 10 minutos ou mais.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dado: a probabilidade de um cliente esperar 10 minutos ou mais na fila é 25\%.
    Vou chamar o evento “esperar 10 minutos ou mais” de A. Então tenho P(A)=25\%=0,25.
  • Situação: o Capitão Rapadura e sua esposa entram em filas diferentes ao mesmo tempo. Pressupõe-se que os tempos de espera dos dois caixas são eventos distintos; na parte (b) o enunciado diz para assumir independência entre esses dois eventos.
O enunciado pede três coisas:
(a) a probabilidade de o Capitão Rapadura esperar menos de 10 minutos na fila;
(b) a probabilidade de ambos (Capitão e esposa) esperarem menos de 10 minutos, supondo independência;
(c) a probabilidade de “um ou outro, ou ambos” esperarem 10 minutos ou mais — isto é, a probabilidade de que pelo menos uma das duas pessoas espere \geq 10 minutos.

Passo 2

Entendendo o complemento (fórmula e ideia).
Se A é o evento “esperar 10 minutos ou mais”, então o evento complementar A^{c} é “esperar menos de 10 minutos”. A regra do complemento é simples e essencial:
P(A^{c})=1-P(A).
Aqui cada probabilidade é um número entre 0 e 1; somando a probabilidade de um evento e de seu complementar obtemos 1 (algo vai acontecer ou o contrário vai acontecer).

Passo 3

Aplicando o complemento ao caso (a).
Temos P(A)=0,25. Logo
P(A^{c})=1-0,25=0,75.
Interpretação: a probabilidade de o Capitão Rapadura esperar menos de 10 minutos é 0,75, ou seja 75\%.

Passo 4

Entendendo independência e a regra do produto (fórmula e ideia).
Dois eventos E e F são independentes quando a ocorrência de um não altera a probabilidade do outro. Para eventos independentes vale a regra:
P(E\cap F)=P(E)\,P(F).
No contexto: “Capitão espera menos de 10 min” é A^{c} para ele, e “esposa espera menos de 10 min” é um evento análogo B^{c} para ela. Se os tempos são independentes e as probabilidades são iguais (cada um tem P(A^{c})=0,75), a probabilidade de ambos ocorrerem é o produto das probabilidades individuais.

Passo 5

Calculando (b) usando o produto.
Com independência,
P(\text{ambos esperarem menos de 10 min})=P(A^{c})\cdot P(B^{c})=0,75\cdot0,75=0,75^{2}=0,5625.
Em porcentagem isso é 56,25\%.

Passo 6

Interpretando “um ou outro, ou ambos” e métodos para calcular (c).
“Um ou outro, ou ambos esperarem 10 minutos ou mais” significa “pelo menos um espera \geq 10 minutos”. A maneira mais prática é usar o complementar: isso é o complemento do evento “nenhum espera \geq 10 minutos”, ou seja, complemento do evento “ambos esperam menos de 10 minutos”. Assim
P(\text{pelo menos um espera } \geq 10)=1-P(\text{nenhum espera } \geq 10)=1-P(A^{c}\cap B^{c}).
Como já calculamos P(A^{c}\cap B^{c})=0,5625, segue que
P(\text{pelo menos um espera } \geq 10)=1-0,5625=0,4375.

Passo 7

Verificação alternativa (fórmula da união) — bom para checar a conta.
Se A e B são os eventos "Capitão espera \geq 10" e "Esposa espera \geq 10", então
P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B).
Com independência e P(A)=P(B)=0,25 temos P(A\cap B)=0,25\cdot0,25=0,0625. Assim
P(A\cup B)=0,25+0,25-0,0625=0,4375,
o mesmo resultado obtido pelo complemento — sinal de que está correto.

Passo 8

Dicas rápidas para a prova (resumo mental):
  • Use complemento sempre que for “pelo menos um” ou “um ou outro ou ambos”; costuma simplificar bastante.
  • Para eventos independentes, multiplica-se para interseção; para a união use P(A)+P(B)-P(A\cap B).
  • Guardar na cabeça: 25\%=0,25, complemento 75\%=0,75; 0,75^2=0,5625; 1-0,5625=0,4375. Você consegue!

Resposta

(a) 0,75 (ou 75\%)
(b) 0,5625 (ou 56,25\%)
(c) 0,4375 (ou 43,75\%)

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