A razão entre o ângulo interno e o ângulo externo de um polígono regular é 9 . Determine o número de lados do polígono.

Passo 1

O enunciado pede: “A razão entre o ângulo interno e o ângulo externo de um polígono regular é 9. Determine o número de lados do polígono.”\n
Informações dadas e o que precisa ser encontrado:
  • O polígono é regular (todos os ângulos internos e todos os lados são iguais).
  • A razão entre o ângulo interno e o ângulo externo vale 9, ou seja \dfrac{\text{ângulo interno}}{\text{ângulo externo}} = 9ââ.
  • Preciso determinar o número de lados, que vou chamar de n.

Passo 2

Vamos lembrar como encontrar o ângulo interno de um polígono regular. Primeiro a soma dos ângulos internos de um polígono convexo com n lados é
\text{soma dos ângulos internos}=(n-2)\cdot 180^\circ.â
Explicação curta: ao partir o polígono em triângulos a partir de um vértice, obtém-se n-2 triângulos e cada triângulo tem soma 180^\circ. Portanto, o ângulo interno de cada vértice, em um polígono regular (todos iguais), é essa soma dividida por n:
\text{ângulo interno }I=\frac{(n-2)\cdot 180^\circ}{n}.â
Aqui I é o ângulo interno em graus e n é o número de lados.

Passo 3

Agora o ângulo externo. Para um polígono regular, o ângulo externo (o “ângulo de giro” em cada vértice) é
\text{ângulo externo }E=\frac{360^\circ}{n}.â
Motivo rápido: ao caminhar ao redor do polígono fazendo os giros externos em cada vértice, a soma desses giros dá uma volta completa, 360^\circ; como são n giros iguais, cada um vale 360^\circ/n. Note também que I+E=180^\circ, compatível com as fórmulas acima.

Passo 4

Usando a informação dada da razão, escrevemos a equação substituindo I e E:
\frac{I}{E}=9 \quad\Longrightarrow\quad \frac{\dfrac{(n-2)\cdot 180^\circ}{n}}{\dfrac{360^\circ}{n}}=9.
Expliquei: aqui simplesmente substituí as fórmulas de I e E na razão pedida.

Passo 5

Vamos simplificar a expressão passo a passo. Na fração, o fator \dfrac{1}{n} aparece em numerador e denominador e se cancela, e os ^{\circ} (graus) também são comuns, então fica:
\frac{(n-2)\cdot 180}{360}=9.
Agora simplifico 180/360=\dfrac{1}{2}, então
\frac{n-2}{2}=9.
Multiplicando ambos os lados por 2:
n-2=18.
Somando 2 aos dois lados:
n=20.

Passo 6

Verificação rápida (para ficar seguro): com n=20,
I=\frac{(20-2)\cdot 180^\circ}{20}=\frac{18\cdot 180^\circ}{20}=18\cdot 9^\circ=162^\circ,
E=\frac{360^\circ}{20}=18^\circ,
e \dfrac{I}{E}=\dfrac{162^\circ}{18^\circ}=9, que bate com o enunciado. Tudo consistente.

Resposta

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