A razão entre o ângulo interno e o ângulo externo de um polígono regular é 9 . Determine o número de lados do polígono.
Passo 1
O enunciado pede: “A razão entre o ângulo interno e o ângulo externo de um polígono regular é
. Determine o número de lados do polígono.”\n
Informações dadas e o que precisa ser encontrado:
Informações dadas e o que precisa ser encontrado:
- O polígono é regular (todos os ângulos internos e todos os lados são iguais).
- A razão entre o ângulo interno e o ângulo externo vale
, ou seja . - Preciso determinar o número de lados, que vou chamar de
.
Passo 2
Vamos lembrar como encontrar o ângulo interno de um polígono regular. Primeiro a soma dos ângulos internos de um polígono convexo com
lados é
Explicação curta: ao partir o polígono em triângulos a partir de um vértice, obtém-se
triângulos e cada triângulo tem soma
. Portanto, o ângulo interno de cada vértice, em um polígono regular (todos iguais), é essa soma dividida por
:
Aqui
é o ângulo interno em graus e
é o número de lados.
Passo 3
Agora o ângulo externo. Para um polígono regular, o ângulo externo (o “ângulo de giro” em cada vértice) é
Motivo rápido: ao caminhar ao redor do polígono fazendo os giros externos em cada vértice, a soma desses giros dá uma volta completa,
; como são
giros iguais, cada um vale
. Note também que
, compatível com as fórmulas acima.
Passo 4
Usando a informação dada da razão, escrevemos a equação substituindo
e
:
Expliquei: aqui simplesmente substituí as fórmulas de
e
na razão pedida.
Passo 5
Vamos simplificar a expressão passo a passo. Na fração, o fator
aparece em numerador e denominador e se cancela, e os
(graus) também são comuns, então fica:
Agora simplifico
, então
Multiplicando ambos os lados por
:
Somando
aos dois lados:
Passo 6
Verificação rápida (para ficar seguro): com
,
e
, que bate com o enunciado. Tudo consistente.