As mediatrizes de 2 lados consecutivos de um polígono regular formam um ângulo de
. Determine o número de diagonais desse polígono.
Passo 1
O enunciado diz que as mediatrizes de dois lados consecutivos de um polígono regular formam um ângulo de
. A pergunta implícita é: qual o número de diagonais desse polígono?
Informações relevantes dadas:
Informações relevantes dadas:
- As duas linhas consideradas são as mediatrizes (perpendiculares bissetrizes) de lados consecutivos do polígono regular.
- O ângulo entre essas duas mediatrizes vale
.
O que temos de encontrar: o número total de diagonais do polígono.
Passo 2
Primeiro, preciso lembrar uma propriedade geométrica importante e explicá-la bem: a mediatriz de um lado (um segmento entre duas vértices) de um polígono regular passa pelo centro do polígono (centro da circunferência circunscrita). Vou explicar por quê, devagarinho.
Considere um lado qualquer do polígono, que é um corda da circunferência circunscrita. A mediatriz de uma corda é a reta que passa pelo ponto médio dessa corda e é perpendicular a ela. Uma propriedade de circunferências: a mediatriz de uma corda passa pelo centro da circunferência, porque pontos do plano que estão à mesma distância das extremidades da corda formam essa reta, e o centro é equidistante das extremidades da corda. Assim, a mediatriz do lado passa pelo centro do polígono (vou chamar de o centro).
Considere um lado qualquer do polígono, que é um corda da circunferência circunscrita. A mediatriz de uma corda é a reta que passa pelo ponto médio dessa corda e é perpendicular a ela. Uma propriedade de circunferências: a mediatriz de uma corda passa pelo centro da circunferência, porque pontos do plano que estão à mesma distância das extremidades da corda formam essa reta, e o centro é equidistante das extremidades da corda. Assim, a mediatriz do lado passa pelo centro do polígono (vou chamar de
Passo 3
Agora vamos representar angulos centrais. Num polígono regular de
lados, os vértices estão igualmente espaçados na circunferência. O ângulo central entre vértices consecutivos (o ângulo subtendido no centro por um lado) vale
Vou chamar esse ângulo de
, ou seja
.
Passo 4
Precisamos relacionar o ângulo entre mediatrizes de lados consecutivos com esse ângulo central
. Considere três vértices consecutivos
. As mediatrizes dos lados
e
passam pelo centro
. Cada mediatriz coincide com a reta que vai de
para o ponto médio do arco entre os vértices daquele lado — geometricamente isso significa que a mediatriz do lado
está dirigida na mesma direção do raio que bisseta o arco entre
e
. Portanto o ângulo entre as duas mediatrizes é igual à diferença entre os ângulos médios dos dois arcos adjacentes, que é exatamente o ângulo central entre vértices consecutivos. Logo o ângulo entre mediatrizes de lados consecutivos é
Passo 5
Pelo enunciado esse ângulo vale
. Assim temos a equação
Isolando
,
Portanto o polígono é um
-ágono (quinzenágono).
Passo 6
Agora precisamos do número de diagonais. Vou explicar a fórmula e de onde ela vem: cada vértice de um polígono de
vértices pode ser ligado a outros
vértices por segmentos; desses, dois são os lados adjacentes, que não são diagonais, então de cada vértice nascem
diagonais. Somando sobre os
vértices contamos cada diagonal duas vezes (uma de cada extremidade), por isso o total de diagonais é
Passo 7
Aplicando para
:
Calcule passo a passo:
e
.