As mediatrizes de 2 lados consecutivos de um polígono regular formam um ângulo de 24^{\circ}. Determine o número de diagonais desse polígono.

Passo 1

O enunciado diz que as mediatrizes de dois lados consecutivos de um polígono regular formam um ângulo de 24^\circ. A pergunta implícita é: qual o número de diagonais desse polígono?
Informações relevantes dadas:
  • As duas linhas consideradas são as mediatrizes (perpendiculares bissetrizes) de lados consecutivos do polígono regular.
  • O ângulo entre essas duas mediatrizes vale 24^\circ.
    O que temos de encontrar: o número total de diagonais do polígono.

Passo 2

Primeiro, preciso lembrar uma propriedade geométrica importante e explicá-la bem: a mediatriz de um lado (um segmento entre duas vértices) de um polígono regular passa pelo centro do polígono (centro da circunferência circunscrita). Vou explicar por quê, devagarinho.
Considere um lado qualquer do polígono, que é um corda da circunferência circunscrita. A mediatriz de uma corda é a reta que passa pelo ponto médio dessa corda e é perpendicular a ela. Uma propriedade de circunferências: a mediatriz de uma corda passa pelo centro da circunferência, porque pontos do plano que estão à mesma distância das extremidades da corda formam essa reta, e o centro é equidistante das extremidades da corda. Assim, a mediatriz do lado passa pelo centro do polígono (vou chamar de O o centro).

Passo 3

Agora vamos representar angulos centrais. Num polígono regular de n lados, os vértices estão igualmente espaçados na circunferência. O ângulo central entre vértices consecutivos (o ângulo subtendido no centro por um lado) vale
\frac{360^\circ}{n}.
Vou chamar esse ângulo de \theta, ou seja \theta=\dfrac{360^\circ}{n}.

Passo 4

Precisamos relacionar o ângulo entre mediatrizes de lados consecutivos com esse ângulo central \theta. Considere três vértices consecutivos A_1,A_2,A_3. As mediatrizes dos lados A_1A_2 e A_2A_3 passam pelo centro O. Cada mediatriz coincide com a reta que vai de O para o ponto médio do arco entre os vértices daquele lado — geometricamente isso significa que a mediatriz do lado A_kA_{k+1} está dirigida na mesma direção do raio que bisseta o arco entre A_k e A_{k+1}. Portanto o ângulo entre as duas mediatrizes é igual à diferença entre os ângulos médios dos dois arcos adjacentes, que é exatamente o ângulo central entre vértices consecutivos. Logo o ângulo entre mediatrizes de lados consecutivos é
\theta=\frac{360^\circ}{n}.

Passo 5

Pelo enunciado esse ângulo vale 24^\circ. Assim temos a equação
\frac{360^\circ}{n}=24^\circ.
Isolando n,
n=\frac{360}{24}=15.
Portanto o polígono é um 15-ágono (quinzenágono).

Passo 6

Agora precisamos do número de diagonais. Vou explicar a fórmula e de onde ela vem: cada vértice de um polígono de n vértices pode ser ligado a outros n-1 vértices por segmentos; desses, dois são os lados adjacentes, que não são diagonais, então de cada vértice nascem n-3 diagonais. Somando sobre os n vértices contamos cada diagonal duas vezes (uma de cada extremidade), por isso o total de diagonais é
\frac{n(n-3)}{2}.

Passo 7

Aplicando para n=15:
\text{diagonais}=\frac{15(15-3)}{2}=\frac{15\cdot 12}{2}.
Calcule passo a passo: 15\cdot 12=180 e 180/2=90.

Resposta

\,90

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