Podem os ângulos internos e os externos de um polígono regular apresentar medidas iguais? Em que caso isso ocorre?

Passo 1

O enunciado pergunta se os ângulos internos e os ângulos externos de um polígono regular podem ter medidas iguais, e em que caso isso ocorre.
Informações dadas e o que devemos achar:
  • Temos um polígono regular com n lados (ou seja, todos os lados e todos os ângulos internos são iguais).
  • Precisamos verificar se é possível que a medida de um ângulo interno seja igual à medida do ângulo externo correspondente, e determinar para quais valores de n isso acontece.

Passo 2

Definição e fórmula para o ângulo interno de um polígono regular.
  • A soma das medidas dos ângulos internos de um polígono convexo de n lados é obtida dividindo o polígono em triângulos a partir de um vértice; isso gera n-2 triângulos, cada um com soma dos ângulos igual a 180^\circ. Logo a soma dos ângulos internos é
(n-2)\,180^\circ.
  • Como o polígono é regular, todos os ângulos internos têm a mesma medida. Assim a medida de cada ângulo interno, que chamaremos de \alpha, é
\alpha = \frac{(n-2)\,180^\circ}{n}.
Expliquei: n é o número de lados; (n-2)\,180^\circ é a soma total; dividimos por n para obter cada ângulo igual.

Passo 3

Definição e fórmula para o ângulo externo.
  • O ângulo externo usualmente usado em polígonos (o que se forma ao prolongar um lado e medir o ângulo fora do polígono entre o prolongamento e o lado adjacente) é suplementar ao ângulo interno. Se chamarmos esse ângulo externo de \beta, então
\beta = 180^\circ - \alpha.
  • Para um polígono regular convexo também é comum usar o ângulo de “virada” em cada vértice, cujo valor é exatamente \frac{360^\circ}{n}. Esses dois conceitos coincidem em magnitude porque, usando a expressão de \alpha acima, obtemos
\beta = 180^\circ - \frac{(n-2)\,180^\circ}{n} = \frac{360^\circ}{n}.
Portanto podemos usar a expressão prática
\beta = \frac{360^\circ}{n}.
Expliquei: \beta representa a medida do ângulo externo (numa definição padrão); mostramos que ela vale \frac{360^\circ}{n}.

Passo 4

Impor a condição de igualdade entre ângulo interno e externo e montar a equação.
  • Queremos \alpha = \beta. Usando as fórmulas das etapas anteriores:
\frac{(n-2)\,180^\circ}{n} = \frac{360^\circ}{n}.
Expliquei: igualamos as expressões para o ângulo interno e externo em termos de n.

Passo 5

Resolver a equação para n.
  • Multiplicando ambos os lados por n (para eliminar o denominador), obtemos
(n-2)\,180^\circ = 360^\circ.
  • Dividindo ambos os lados por 180^\circ,
n-2 = 2.
  • Assim
n = 4.
Expliquei: n deve ser inteiro e maior ou igual a 3 (polígono), e a solução encontrada é n=4, válida.

Passo 6

Interpretar o resultado e verificar a medida dos ângulos no caso n=4.
  • Para n=4 (polígono regular com quatro lados, isto é, um quadrado), a medida do ângulo interno é
\alpha = \frac{(4-2)\,180^\circ}{4} = \frac{360^\circ}{4} = 90^\circ.
  • A medida do ângulo externo é
\beta = \frac{360^\circ}{4} = 90^\circ.
Logo eles são iguais e valem 90^\circ.
Expliquei: isso confirma que o único caso possível é o quadrado.

Passo 7

Exemplos rápidos para fixar a ideia (comparando outros n).
  • Para n=3 (triângulo regular): \alpha=60^\circ, \beta=120^\circ — não são iguais.
  • Para n=5 (pentágono regular): \alpha=108^\circ, \beta=72^\circ — não são iguais.
    Isso ajuda a ver que a igualdade é excepcional e só acontece em n=4.

Resposta

Apenas no quadrado (polígono regular com n=4); nesse caso cada ângulo interno e cada ângulo externo medem 90^\circ.

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