Podem os ângulos internos e os externos de um polígono regular apresentar medidas iguais? Em que caso isso ocorre?
Passo 1
O enunciado pergunta se os ângulos internos e os ângulos externos de um polígono regular podem ter medidas iguais, e em que caso isso ocorre.
Informações dadas e o que devemos achar:
Informações dadas e o que devemos achar:
- Temos um polígono regular com
lados (ou seja, todos os lados e todos os ângulos internos são iguais). - Precisamos verificar se é possível que a medida de um ângulo interno seja igual à medida do ângulo externo correspondente, e determinar para quais valores de
isso acontece.
Passo 2
Definição e fórmula para o ângulo interno de um polígono regular.
- A soma das medidas dos ângulos internos de um polígono convexo de
lados é obtida dividindo o polígono em triângulos a partir de um vértice; isso gera triângulos, cada um com soma dos ângulos igual a . Logo a soma dos ângulos internos é
- Como o polígono é regular, todos os ângulos internos têm a mesma medida. Assim a medida de cada ângulo interno, que chamaremos de
, é
Expliquei:
é o número de lados;
é a soma total; dividimos por
para obter cada ângulo igual.
Passo 3
Definição e fórmula para o ângulo externo.
- O ângulo externo usualmente usado em polígonos (o que se forma ao prolongar um lado e medir o ângulo fora do polígono entre o prolongamento e o lado adjacente) é suplementar ao ângulo interno. Se chamarmos esse ângulo externo de
, então
- Para um polígono regular convexo também é comum usar o ângulo de “virada” em cada vértice, cujo valor é exatamente
. Esses dois conceitos coincidem em magnitude porque, usando a expressão de acima, obtemos
Portanto podemos usar a expressão prática
Expliquei:
representa a medida do ângulo externo (numa definição padrão); mostramos que ela vale
.
Passo 4
Impor a condição de igualdade entre ângulo interno e externo e montar a equação.
- Queremos
. Usando as fórmulas das etapas anteriores:
Expliquei: igualamos as expressões para o ângulo interno e externo em termos de
.
Passo 5
Resolver a equação para
.
- Multiplicando ambos os lados por
(para eliminar o denominador), obtemos
- Dividindo ambos os lados por
,
- Assim
Expliquei:
deve ser inteiro e maior ou igual a
(polígono), e a solução encontrada é
, válida.
Passo 6
Interpretar o resultado e verificar a medida dos ângulos no caso
.
- Para
(polígono regular com quatro lados, isto é, um quadrado), a medida do ângulo interno é
- A medida do ângulo externo é
Logo eles são iguais e valem
.
Expliquei: isso confirma que o único caso possível é o quadrado.
Expliquei: isso confirma que o único caso possível é o quadrado.
Passo 7
Exemplos rápidos para fixar a ideia (comparando outros
).
- Para
(triângulo regular): , — não são iguais. - Para
(pentágono regular): , — não são iguais.
Isso ajuda a ver que a igualdade é excepcional e só acontece em.
Resposta
Apenas no quadrado (polígono regular com
); nesse caso cada ângulo interno e cada ângulo externo medem
.