A razão entre a probabilidade de emissão espontânea e a de emissão estimulada vale
\frac{A_{21}}{B_{21} \varrho_{U}(\nu)}=e^{\beta h \nu}-1
Uma transição ocorre entre níveis de modo que a razão (1) vale 1. Neste caso, qual é a energia, em eV , do fóton emitido se T=400 \mathrm{~K}. ( 1,0 ponto)

Passo 1

O enunciado dá a relação
\frac{A_{21}}{B_{21}\varrho_{U}(\nu)}=e^{\beta h \nu}-1
e diz que, para uma determinada transição, essa razão vale 1. Além disso foi dado T=400\\ \mathrm{K}.\n
O que o problema pede: encontrar a energia do fóton emitido, em electronvolts (eV), para o caso em que a razão acima é 1.\n
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A razão é 1: \dfrac{A_{21}}{B_{21}\varrho_{U}(\nu)}=1.
  • Temperatura: T=400\\ \mathrm{K}.
  • A constante \beta aparece na fórmula; ela é definida por \beta=\dfrac{1}{k_B T}, onde k_B é a constante de Boltzmann.
  • A energia do fóton é E=h\nu (onde h é a constante de Planck e \nu a frequência). O objetivo é obter E em eV.

Passo 2

Traduzir a condição matemática e resolver simbolicamente para a energia E=h\nu.
Partimos de
e^{\beta h \nu}-1=1.
Somando 1 em ambos os lados e tomando logaritmo:
e^{\beta h \nu}=2
\beta h \nu=\ln 2.
Lembrando que \beta=\dfrac{1}{k_B T} e que E=h\nu, obtemos
E=h\nu=\frac{\ln 2}{\beta}=(\ln 2)\,k_B T.
Explicação didática: \beta é o inverso da energia térmica característica k_B T. A condição e^{\beta h\nu}=2 diz que a energia do fóton é tal que o fator exponencial térmico gera o valor 2; reescrever em termos de E dá imediatamente E=k_B T\ln 2. Portanto não é necessário conhecer h ou \nu separadamente para achar E.

Passo 3

Agora calculamos numericamente usando uma forma conveniente da constante de Boltzmann em eV/K, para já obter o resultado direto em eV:
k_B = 8{,}617333262\times 10^{-5}\\ \mathrm{eV/K}.
Logo
E=(\ln 2)\,k_B T.
Substituindo T=400\\ \mathrm{K} e \ln 2\approx 0{,}693147:
E \approx 0{,}693147 \times 8{,}617333262\times 10^{-5}\times 400\\ \mathrm{eV}.
Calculemos em etapas:
k_B T = 8{,}617333262\times 10^{-5}\times 400 = 0{,}034469333048\\ \mathrm{eV},
E = 0{,}693147\times 0{,}034469333048 \approx 0{,}023897\\ \mathrm{eV}.

Passo 4

Arredondamento e interpretação final: o valor E obtido é muito pequeno em eV (ordem de 10^{-2} eV), o que corresponde a fótons de radiação de energia muito baixa (infravermelho/terahertz), o que faz sentido já que k_B T a 400 K é da ordem de algumas dezenas de meV e multiplicar por \ln 2 reduz para ~24 meV.

Resposta

0,0239\\ \mathrm{eV}

Exercícios relacionados