Além do modelo de Debye para o calor específico de sólidos, há um outro, mais simples, chamado modelo de Einstein. Nesse caso, há apenas uma frequência angular de oscilação,
, e a energia dos modos é dada por
(a) Considerando um sólido com
átomos independentes, onde cada átomo oscila em três direções, mostre que a função de partição canônica
vale ( 0,5 ponto)
lembrando que a soma da série geométrica infinita, de termo inicial
e razão
, é
(b) Ache a energia
desse sistema. (1,0 ponto)
Passo 1
O enunciado nos dá as seguintes informações e pede duas coisas.
- Informação 1: os níveis de energia de um oscilador (modo) são
onde
é a constante de Planck reduzida e
é a frequência angular única do modelo de Einstein.
- Informação 2: o sólido tem
átomos independentes e cada átomo oscila em três direções (portanto há modos independentes).
As perguntas:
(a) Mostrar que a função de partição canônica do sistema vale
(a) Mostrar que a função de partição canônica
onde
(aqui
é a constante de Boltzmann e
a temperatura).
(b) Calcular a energia interna desse sistema.
(b) Calcular a energia interna
Passo 2
Conceito chave: função de partição canônica de um sistema isolado de níveis discretos.
- Definição: para um sistema com níveis de energia
, a função de partição canônica é
- Interpretação:
reúne todas as informações termodinâmicas do sistema; energias médias e grandezas termodinâmicas derivam de .
Aqui vamos aplicar isso primeiro a um único modo (um oscilador com níveis dados por
).
Passo 3
Partição de um modo (um oscilador): aplicar a definição com
.
- Escrevendo a soma:
- Reconheça uma série geométrica com termo inicial
e razão . Como e , tem-se , então a soma converge.
Usando a fórmula da série geométrica
, obtemos
Expliquei cada símbolo:
,
é a energia quântica básica do oscilador, e
é a partição de um único modo.
Passo 4
Partição do sistema com
modos independentes.
- Se os modos são independentes (não interagem), a função de partição total é o produto das partições de cada modo:
- Substituindo
do Passo 3:
Isso conclui a parte (a).
Passo 5
Como obter a energia interna
a partir de
.
- Fórmula útil: a energia interna média no ensemble canônico é
Explicação:
é a quantidade cuja derivada em
dá a energia média; essa é uma relação padrão da estatística canônica (derivável da definição de média com probabilidades
).
Agora vamos calcular
usando o resultado do Passo 4 e depois derivar.
Passo 6
Cálculo explícito de
.
- Primeiro escreva
:
- Calcule a derivada em relação a
. Defina para facilitar; então . Usando a regra da cadeia,
- Agora
- Portanto
- Finalmente, a energia interna é
- Simplifique usando
. Voltando , obtemos
Passo 7
Interpretação alternativa e verificação rápida (opcional, didática).
- Alternativa: a média de energia de um único modo é
A soma resulta também em
. Multiplicando por
dá o mesmo
acima, confirmando o resultado.
- Limites conhecidos (para intuição): para alta temperatura (
), usando expansão , tem-se , que recupera o resultado clássico de equipartição. Para baixa temperatura ( ), cai exponencialmente para zero.
Resposta
(a)
(b)