1. A razão entre o volume e a área de uma esfera de raio (2 \pi) é
    a) (3 / \pi)
    b) (\pi / 3)
    c) (2 \pi / 3)
    d) (2 \pi)
    e) (\pi / 2)

Passo 1

O enunciado pede a razão entre o volume e a área de uma esfera cujo raio é 2\pi.
Informações dadas relevantes:
  • raio r = 2\pi;
  • precisamos calcular a razão \dfrac{V}{A}, onde V é o volume da esfera e A é a área da superfície.

Passo 2

Anotemos as fórmulas fundamentais (essas são fórmulas padrão para esfera; vou explicar o que cada símbolo significa):
V = \frac{4}{3}\pi r^{3}
Aqui V é o volume da esfera, \pi é a constante (aprox. 3,1415\ldots) e r é o raio da esfera. A razão 4/3 vem da integração geométrica que dá o volume de uma bola.
A = 4\pi r^{2}
Aqui A é a área da superfície da esfera; o fator 4\pi é o resultado da fórmula para a área de uma esfera em função do raio.

Passo 3

Vamos calcular a razão \dfrac{V}{A} de forma algébrica e simplificar passo a passo:
\frac{V}{A}=\frac{\dfrac{4}{3}\pi r^{3}}{4\pi r^{2}}.
Agora cancele fatores iguais no numerador e no denominador. Primeiro, o fator 4\pi aparece em ambos os lados, e r^{2} também é comum:
\frac{V}{A}=\frac{4\pi r^{3}}{3\cdot 4\pi r^{2}}=\frac{r^{3}}{3r^{2}}=\frac{r}{3}.
Resultado geral importante: para qualquer esfera, \dfrac{V}{A}=\dfrac{r}{3}. Isso é útil para fazer contas rápidas na prova.

Passo 4

Substitua agora r=2\pi na expressão \dfrac{r}{3}:
\frac{V}{A}=\frac{r}{3}=\frac{2\pi}{3}.
Esse é o valor numérico da razão pedida.

Passo 5

Checagem rápida e intuição: a razão tem dimensão de comprimento (porque volume tem dimensão de comprimento^3 e área de comprimento^2), então faz sentido que o resultado seja proporcional a r. A relação \dfrac{V}{A}=\dfrac{r}{3} também pode ser vista pela observação de que \dfrac{dV}{dr}=4\pi r^{2}=A, o que conecta volume e área via derivada — detalhe bonito, mas o que importa na prova é saber a fórmula e simplificar.

Resposta

c) \dfrac{2\pi}{3}

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