- A razão entre o volume e a área de uma esfera de raio (2 \pi) é
a) (3 / \pi)
b) (\pi / 3)
c) (2 \pi / 3)
d) (2 \pi)
e) (\pi / 2)
a) (3 / \pi)
b) (\pi / 3)
c) (2 \pi / 3)
d) (2 \pi)
e) (\pi / 2)
Passo 1
O enunciado pede a razão entre o volume e a área de uma esfera cujo raio é
.
Informações dadas relevantes:
Informações dadas relevantes:
- raio
; - precisamos calcular a razão
, onde é o volume da esfera e é a área da superfície.
Passo 2
Anotemos as fórmulas fundamentais (essas são fórmulas padrão para esfera; vou explicar o que cada símbolo significa):
Aqui
é o volume da esfera,
é a constante (aprox.
) e
é o raio da esfera. A razão
vem da integração geométrica que dá o volume de uma bola.
Aqui
é a área da superfície da esfera; o fator
é o resultado da fórmula para a área de uma esfera em função do raio.
Passo 3
Vamos calcular a razão
de forma algébrica e simplificar passo a passo:
Agora cancele fatores iguais no numerador e no denominador. Primeiro, o fator
aparece em ambos os lados, e
também é comum:
Resultado geral importante: para qualquer esfera,
. Isso é útil para fazer contas rápidas na prova.
Passo 4
Substitua agora
na expressão
:
Esse é o valor numérico da razão pedida.
Passo 5
Checagem rápida e intuição: a razão tem dimensão de comprimento (porque volume tem dimensão de comprimento^3 e área de comprimento^2), então faz sentido que o resultado seja proporcional a
. A relação
também pode ser vista pela observação de que
, o que conecta volume e área via derivada — detalhe bonito, mas o que importa na prova é saber a fórmula e simplificar.
Resposta
c)