- A secção meridiana de um cilindro equilátero tem
de área. O volume do cilindro é
a)
b)
c)
d)
a)
b)
c)
d)
Passo 1
O enunciado diz que a secção meridiana de um cilindro equilátero tem
de área e pede o volume do cilindro.
Informações relevantes dadas:
Informações relevantes dadas:
A pergunta é: qual é o volume do cilindro (em
)?
Passo 2
Primeiro vamos entender o que é a secção meridiana de um cilindro e como ela se relaciona com o raio e a altura. A secção meridiana é a interseção do cilindro com um plano que contém o eixo do cilindro. Para um cilindro reto, essa secção é um retângulo cujos lados são a altura
do cilindro e o diâmetro da base
. Logo, a área da secção meridiana é dada por
Expliquei isso devagar: o “lado vertical” do retângulo é a altura
e o “lado horizontal” é o diâmetro
, por isso multiplicamos
por
.
Passo 3
Agora, o que significa “cilindro equilátero”? Em geometria, um cilindro equilátero costuma ser definido como aquele cuja altura é igual ao diâmetro da base. Ou seja,
Essa igualdade é fundamental e vai simplificar bastante as contas — é o ponto chave do problema.
Passo 4
Usemos a informação da área da secção meridiana. Pelo que vimos,
Substituindo
(porque o cilindro é equilátero) obtemos
Pelo enunciado, essa área vale
, então
Passo 5
Agora resolvemos a equação para
. Dividindo ambos os lados por
,
Tomando a raiz quadrada positiva (raio é positivo),
Aqui explico: sempre pegamos a raiz positiva porque raio não pode ser negativo.
Passo 6
Com o raio encontrado, calculamos a altura usando
:
Passo 7
Agora precisamos da fórmula do volume do cilindro. O volume de um cilindro reto é dado por
Explicando: a base é um círculo de raio
, cuja área é
; multiplicando pela altura
obtemos o volume.
Passo 8
Substituímos os valores
e
na fórmula do volume:
Fazendo a conta
, obtemos
Passo 9
Verifiquei os passos: a secção meridiana foi usada como retângulo
, usei a definição de cilindro equilátero
, resolvi para
e calculei o volume com a fórmula padrão. O resultado final é consistente com todas as igualdades usadas.