Quais razões explicam, quando da aplicação especificamente do teste proposto por Bera e por Jarque, não tendermos a rejeitar a hipótese nula de normalidade ao aumentarmos o tamanho da amostra?

Passo 1

Estamos falando do teste de Jarque-Bera para normalidade, cujo estatístico é
JB = n\!\left(\frac{S_n^2}{6} + \frac{(K_n - 3)^2}{24}\right),
onde S_n é o coeficiente de simetria amostral e K_n é a curtose amostral. Sob a hipótese nula de normalidade, JB converge em distribuição para \chi^2_2. Vamos ver por que, conforme n aumenta, não começamos a rejeitar sistematicamente a normalidade quando ela realmente é verdadeira.

Passo 2

Mostramos a ordem de convergência de S_n e K_n. Pelo Teorema Central do Momento, sob H_0 temos
S_n = O_p\!\bigl(n^{-1/2}\bigr), \quad K_n - 3 = O_p\!\bigl(n^{-1/2}\bigr).
Isto significa que, para amostras maiores, tanto a simetria amostral quanto a curtose se aproximam de seus valores populacionais (0 e 3) à razão 1/\sqrt{n}.

Passo 3

Substituindo as ordens em JB, obtemos
JB = n\Bigl(O_p(n^{-1}) + O_p(n^{-1})\Bigr) = O_p(1).
Logo, mesmo multiplicando pelo tamanho da amostra n, o estatístico JB permanece com ordem de grandeza constante (não explode), pois S_n^2 e (K_n-3)^2 vão a zero rapidamente.

Passo 4

O valor crítico de rejeição é a quantil de \chi^2_2 (por exemplo, \approx5,99 ao nível de 5 %), que não depende de n. Como JB sob H_0 converge para essa mesma distribuição \chi^2_2, a probabilidade de rejeitar quando a distribuição é realmente normal fica estabilizada no nível nominal (ex.: 5 %), independente de n.

Passo 5

Além disso, o teste de Jarque-Bera só “vê” desvios em skewness (3º momento) e kurtosis (4º momento). Se a distribuição alternativa difere da normal em outros aspectos (por exemplo, em caudas moderadamente pesadas mas com S=0 e K=3), o teste jamais ganhará poder contra essa alternativa, não importa quão grande seja n.

Resposta

  1. Sob H_0, S_n\to0 e K_n\to3 à taxa 1/\sqrt{n}, de modo que JB=O_p(1) mesmo multiplicado por n.
  2. O ponto de corte \chi^2_2 é fixo e não cresce com n, garantindo que o tamanho do teste permaneça constante.
  3. O teste só detecta desvios de simetria ou curtose; não é omnibus para outras irregularidades de forma.
    Portanto, quando a amostra realmente vem de uma normal, não tendemos a rejeitar H_0 mesmo aumentando n.

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