Quais razões explicam, quando da aplicação especificamente do teste proposto por Bera e por Jarque, não tendermos a rejeitar a hipótese nula de normalidade ao aumentarmos o tamanho da amostra?
Passo 1
Estamos falando do teste de Jarque-Bera para normalidade, cujo estatístico é
onde
é o coeficiente de simetria amostral e
é a curtose amostral. Sob a hipótese nula de normalidade,
converge em distribuição para
. Vamos ver por que, conforme
aumenta, não começamos a rejeitar sistematicamente a normalidade quando ela realmente é verdadeira.
Passo 2
Mostramos a ordem de convergência de
e
. Pelo Teorema Central do Momento, sob
temos
Isto significa que, para amostras maiores, tanto a simetria amostral quanto a curtose se aproximam de seus valores populacionais (0 e 3) à razão
.
Passo 3
Substituindo as ordens em
, obtemos
Logo, mesmo multiplicando pelo tamanho da amostra
, o estatístico
permanece com ordem de grandeza constante (não explode), pois
e
vão a zero rapidamente.
Passo 4
O valor crítico de rejeição é a quantil de
(por exemplo,
ao nível de 5 %), que não depende de
. Como
sob
converge para essa mesma distribuição
, a probabilidade de rejeitar quando a distribuição é realmente normal fica estabilizada no nível nominal (ex.: 5 %), independente de
.
Passo 5
Além disso, o teste de Jarque-Bera só “vê” desvios em skewness (3º momento) e kurtosis (4º momento). Se a distribuição alternativa difere da normal em outros aspectos (por exemplo, em caudas moderadamente pesadas mas com
e
), o teste jamais ganhará poder contra essa alternativa, não importa quão grande seja
.
Resposta
- Sob
, e à taxa , de modo que mesmo multiplicado por . - O ponto de corte
é fixo e não cresce com , garantindo que o tamanho do teste permaneça constante. - O teste só detecta desvios de simetria ou curtose; não é omnibus para outras irregularidades de forma.
Portanto, quando a amostra realmente vem de uma normal, não tendemos a rejeitarmesmo aumentando .