Uma reação de decomposição segue cinética de primeira ordem. A concentração de um reagente diminui de 0,80 \mathrm{~mol} / \mathrm{L} para 0,20 \mathrm{~mol} / \mathrm{L} em 40 minutos.
Sabendo que a reação obedece à lei integrada de primeira ordem, determine o valor da constante de velocidade k .
◯ a. 8,7 \times 10^{-3} \mathrm{~min}^{-1}
◯ b. 7,0 \times 10^{-2} \mathrm{~min}^{-1}
◯ c. 1,7 \times 10^{-2} \mathrm{~min}^{-1}
◯ d. 1,4 \times 10^{-1} \mathrm{~min}^{-1}
◯ e. 3,5 \times 10^{-2} \mathrm{~min}^{-1}

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
  • Concentração inicial: [A]_0 = 0,80\\ \mathrm{mol/L}.
  • Concentração após certo tempo: [A]_t = 0,20\\ \mathrm{mol/L}.
  • Tempo decorrido: t = 40\\ \mathrm{min}.
    O enunciado pede: determinar o valor da constante de velocidade k sabendo que a reação segue a lei integrada de primeira ordem.

Passo 2

Escrever a lei diferencial da cinética de primeira ordem e explicar as variáveis.
A lei diferencial é
\frac{d[A]}{dt} = -k[A],
onde [A] é a concentração do reagente em função do tempo t e k é a constante de velocidade (unidade de tempo^{-1}, aqui \mathrm{min}^{-1}). O sinal negativo indica que [A] diminui com o tempo.

Passo 3

Separar variáveis e integrar para obter a forma integrada.
Separando variáveis:
\frac{d[A]}{[A]} = -k\,dt.
Integrando entre t=0 (quando [A]=[A]_0) e t=t (quando [A]=[A]_t):
\int_{[A]_0}^{[A]_t}\frac{d[A]}{[A]} = -k\int_{0}^{t} dt.
A integral no lado esquerdo dá diferença de logaritmos naturais, então
\ln\!\big([A]_t\big) - \ln\!\big([A]_0\big) = -kt.

Passo 4

Rearranjar a expressão para isolar k.
Subtraindo e multiplicando por -1 obtemos a forma prática:
\ln\!\left(\frac{[A]_0}{[A]_t}\right) = kt
e, portanto,
k = \frac{1}{t}\ln\!\left(\frac{[A]_0}{[A]_t}\right).
Aqui k tem unidade \mathrm{min}^{-1} porque t está em minutos.

Passo 5

Substituir os valores numéricos fornecidos.
Primeiro calcular a razão das concentrações:
\frac{[A]_0}{[A]_t} = \frac{0,80}{0,20} = 4.
Então
k = \frac{1}{40}\ln(4).

Passo 6

Calcular numericamente usando que \ln(4)=2\ln(2) e \ln(2)\approx0,693147.
\ln(4) = 2\ln(2) \approx 2\times0,693147 = 1,386294.
Logo
k \approx \frac{1,386294}{40} \approx 0,03465735\\ \mathrm{min}^{-1}.
Arredondando conforme as opções dadas, isso é 3,5\times10^{-2}\\ \mathrm{min}^{-1}.

Passo 7

Conclusão e verificação rápida das unidades: k tem unidade \mathrm{min}^{-1} e o valor obtido está dentro das alternativas fornecidas.

Resposta

e. 3,5\times10^{-2}\\ \mathrm{min}^{-1}

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