Uma reação segue cinética de segunda ordem em relação ao reagente A . A concentração inicial de A é 1,0 \mathrm{~mol} / \mathrm{L} e a constante de velocidade é \mathrm{k}=0,50 \mathrm{~L} / \mathrm{mol} / \mathrm{min}.
Sabendo que a reação obedece à lei integrada de segunda ordem, o tempo necessário para que a concentração de A diminua para 0,25 \mathrm{~mol} / \mathrm{L} é:

Passo 1

O enunciado fornece e pede o seguinte (vou listar exatamente os dados que temos):
  • Concentração inicial de A: [A]_0 = 1{,}0\\ \mathrm{mol}\,\mathrm{L}^{-1}.
  • Constante de velocidade: k = 0{,}50\\ \mathrm{L}\,\mathrm{mol}^{-1}\,\mathrm{min}^{-1}.
  • Concentração alvo de A: [A] = 0{,}25\\ \mathrm{mol}\,\mathrm{L}^{-1}.
  • A reação obedece à lei integrada de segunda ordem (ou seja, é de segunda ordem em relação a A).
    O que se pede:
  • Determinar o tempo necessário t para a concentração de A diminuir de [A]_0 para [A].

Passo 2

Entendendo a equação diferencial que gera a lei integrada de segunda ordem (explicação didática).
  • Para uma reação de segunda ordem em apenas o reagente A, a lei de velocidade diferencial é
-\frac{d[A]}{dt} = k\,[A]^2,
onde:
  • [A] é a concentração de A em \mathrm{mol}\,\mathrm{L}^{-1} que depende de t;
  • t é o tempo em \mathrm{min};
  • k é a constante de velocidade com unidades \mathrm{L}\,\mathrm{mol}^{-1}\,\mathrm{min}^{-1}.
  • Essa equação diz: a velocidade de queda da concentração é proporcional ao quadrado da concentração atual.

Passo 3

Separação de variáveis e integração (passo a passo do cálculo simbólico).
  • Vamos separar as variáveis [A] e t para integrar:
\frac{d[A]}{[A]^2} = -k\,dt.
  • Agora integramos dos valores iniciais aos valores em tempo t. Usamos integração definida para evitar constantes de integração:
\int_{[A]_0}^{[A]} \frac{d[A]}{[A]^2} = -k \int_{0}^{t} dt.

Passo 4

Cálculo das integrais (mostrando a integral básica usada).
  • A primitiva de [A]^{-2} é -[A]^{-1}. Portanto a integral à esquerda dá:
\left[-\frac{1}{[A]}\right]_{[A]_0}^{[A]} = -k\,[t]_0^{t}.
  • Avaliando os limites:
\left(-\frac{1}{[A]}\right) - \left(-\frac{1}{[A]_0}\right) = -k\cdot t.
  • Simplificando os sinais:
-\frac{1}{[A]} + \frac{1}{[A]_0} = -k\,t.
  • Multiplicando ambos os lados por -1 obtemos a forma usual da lei integrada de segunda ordem:
\frac{1}{[A]} - \frac{1}{[A]_0} = k\,t.

Passo 5

Isolando t e substituindo os valores numéricos (contas detalhadas).
  • Da expressão integrada:
t = \frac{1}{k}\left(\frac{1}{[A]} - \frac{1}{[A]_0}\right).
  • Calcular os recíprocos (cada número em TeX):
\frac{1}{[A]} = \frac{1}{0{,}25\\ \mathrm{mol}\,\mathrm{L}^{-1}} = 4\\ \mathrm{L}\,\mathrm{mol}^{-1},
\frac{1}{[A]_0} = \frac{1}{1{,}0\\ \mathrm{mol}\,\mathrm{L}^{-1}} = 1\\ \mathrm{L}\,\mathrm{mol}^{-1}.
  • Subtrair:
\frac{1}{[A]} - \frac{1}{[A]_0} = 4 - 1 = 3\\ \mathrm{L}\,\mathrm{mol}^{-1}.
  • Dividir por k:
t = \frac{3\\ \mathrm{L}\,\mathrm{mol}^{-1}}{0{,}50\\ \mathrm{L}\,\mathrm{mol}^{-1}\,\mathrm{min}^{-1}}.

Passo 6

Resultado numérico e verificação de unidades (checando dimensões).
  • Cancelando unidades \mathrm{L}\,\mathrm{mol}^{-1} com o denominador, sobra unidade de \mathrm{min}, como esperado.
  • Efetuando a divisão:
t = \frac{3}{0{,}50}\\ \mathrm{min} = 6\\ \mathrm{min}.
  • Interpretação curta e encorajadora: portanto leva 6\\ \mathrm{min} para a concentração cair de 1{,}0 para 0{,}25\\ \mathrm{mol}\,\mathrm{L}^{-1}. Boa! Esse tipo de conta é direta se lembrar da forma integrada \dfrac{1}{[A]}-\dfrac{1}{[A]_0}=kt.

Resposta

t = 6\\ \mathrm{min}

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