Uma reação segue cinética de segunda ordem em relação ao reagente A . A concentração inicial de A é
e a constante de velocidade é
.
Sabendo que a reação obedece à lei integrada de segunda ordem, o tempo necessário para que a concentração de A diminua para
é:
Passo 1
O enunciado fornece e pede o seguinte (vou listar exatamente os dados que temos):
- Concentração inicial de A:
. - Constante de velocidade:
. - Concentração alvo de A:
. - A reação obedece à lei integrada de segunda ordem (ou seja, é de segunda ordem em relação a A).
O que se pede: - Determinar o tempo necessário
para a concentração de A diminuir de para .
Passo 2
Entendendo a equação diferencial que gera a lei integrada de segunda ordem (explicação didática).
- Para uma reação de segunda ordem em apenas o reagente A, a lei de velocidade diferencial é
onde:
-
é a concentração de A em que depende de ; -
é o tempo em ; -
é a constante de velocidade com unidades . - Essa equação diz: a velocidade de queda da concentração é proporcional ao quadrado da concentração atual.
Passo 3
Separação de variáveis e integração (passo a passo do cálculo simbólico).
- Vamos separar as variáveis
e para integrar:
- Agora integramos dos valores iniciais aos valores em tempo
. Usamos integração definida para evitar constantes de integração:
Passo 4
Cálculo das integrais (mostrando a integral básica usada).
- A primitiva de
é . Portanto a integral à esquerda dá:
- Avaliando os limites:
- Simplificando os sinais:
- Multiplicando ambos os lados por
obtemos a forma usual da lei integrada de segunda ordem:
Passo 5
Isolando
e substituindo os valores numéricos (contas detalhadas).
- Da expressão integrada:
- Calcular os recíprocos (cada número em TeX):
- Subtrair:
- Dividir por
:
Passo 6
Resultado numérico e verificação de unidades (checando dimensões).
- Cancelando unidades
com o denominador, sobra unidade de , como esperado. - Efetuando a divisão:
- Interpretação curta e encorajadora: portanto leva
para a concentração cair de para . Boa! Esse tipo de conta é direta se lembrar da forma integrada .