Uma reação de decomposição segue cinética de primeira ordem e possui tempo de meiavida igual a 15 minutos.
Se a concentração inicial do reagente é \mathbf{0 , 8 0 ~ m o l} / \mathbf{L}, qual será a concentração após \mathbf{4 5} minutos de reação?
◯ a. \quad 0,025 \mathrm{~mol} / \mathrm{L}
◯ b. \quad 0,05 \mathrm{~mol} / \mathrm{L}
◯ c. \quad 0,40 \mathrm{~mol} / \mathrm{L}
◯ d. \quad 0,20 \mathrm{~mol} / \mathrm{L}
◯ e. \quad 0,10 \mathrm{~mol} / \mathrm{L}

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pergunta claramente o que queremos:
  • Concentração inicial do reagente: \, [A]_0 = 0,80\\ \mathrm{mol}/\mathrm{L}.
  • Meia-vida da reação (ordem 1): \, t_{1/2} = 15\\ \text{min}.
  • Tempo para o qual queremos a concentração: \, t = 45\\ \text{min}.
  • A pergunta: “Qual será a concentração após \,45 minutos de reação?” (opções fornecidas: a, b, c, d, e).

Passo 2

Relembrando a teoria necessária (explicação didática e passo a passo):
  • Para uma reação de primeira ordem a lei diferencial que descreve a variação da concentração [A](t) é proporcional à própria concentração:
\frac{d[A]}{dt} = -k\,[A],
onde:
  • \, [A](t) é a concentração no tempo \,t,
  • \,k é a constante de velocidade (unidade: \text{min}^{-1} se t estiver em minutos).
  • A solução dessa equação diferencial é a lei exponencial de decaimento:
[A](t) = [A]_0 \, e^{-k t},
onde [A]_0 é a concentração inicial e e é a base dos logaritmos naturais.

Passo 3

Relação entre meia-vida e constante de velocidade para primeira ordem (onde vem essa fórmula):
  • Por definição, na meia-vida \,t_{1/2} a concentração cai para metade: [A](t_{1/2}) = [A]_0/2.
  • Usando a solução exponencial:
\frac{[A]_0}{2} = [A]_0 \, e^{-k t_{1/2}}.
  • Cancelando [A]_0 e resolvendo para k:
\frac{1}{2} = e^{-k t_{1/2}} \quad\Rightarrow\quad \ln\!\left(\tfrac{1}{2}\right) = -k t_{1/2} \quad\Rightarrow\quad k = \frac{\ln 2}{t_{1/2}}.
Aqui \ln é o logaritmo natural e \ln 2 é aproximadamente 0,6931 (vou usar vírgula para decimais conforme pedido).

Passo 4

Calcular numericamente a constante k usando \,t_{1/2}=15\\ \text{min}:
k = \frac{\ln 2}{t_{1/2}} = \frac{0,6931}{15\\ \text{min}} \approx 0,0462\\ \text{min}^{-1}.
Expliquei o que cada símbolo significa e como obtive esse valor: peguei \ln 2 da definição de meia-vida (passo anterior) e dividi por 15.

Passo 5

Duas maneiras equivalentes de achar [A](45). Vou mostrar as duas (a mais rápida por raciocínio com meias-vidas e a completa com a fórmula exponencial), para que fique claro como proceder na prova.
Método rápido (usando meias-vidas):
  • Se \,t_{1/2}=15\\ \text{min}, então \,45\\ \text{min} corresponde a \dfrac{45}{15}=3 meias-vidas.
  • Após cada meia-vida a concentração é dividida por 2. Após 3 meias-vidas a concentração será dividida por 2^3=8.
  • Portanto
[A](45) = \frac{[A]_0}{2^3} = \frac{0,80}{8}.

Passo 6

Continuação dos cálculos (aritmética explícita, passo a passo):
  • Calcular \dfrac{0,80}{8}:
\frac{0,80}{8} = 0,10\\ \mathrm{mol}/\mathrm{L}.

Passo 7

Verificação pelo método exponencial (confirmação, mostra como fazer caso não perceba a contagem de meias-vidas):
  • Usando [A](t) = [A]_0 e^{-k t} e k\approx 0,0462\\ \text{min}^{-1},
[A](45) = 0,80 \times e^{-0,0462\times 45}.
  • Calcular o expoente: 0,0462\times 45 \approx 2,079.
  • Logo e^{-2,079}\approx 0,125 (aproximação) e
0,80\times 0,125 = 0,10\\ \mathrm{mol}/\mathrm{L},
o mesmo resultado do método das meias-vidas. Isso confirma que o cálculo está correto.

Resposta

(e) \;0,10\\ \mathrm{mol}/\mathrm{L}

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