A reação de degradação de um composto farmacêutico (A) na presença de um estabilizador (B) foi estudada a 25^{\circ} \mathrm{C}. Os dados das velocidades iniciais obtidos os experimentos são os seguintes:
Experimento [A] (mol/L) [B] (mol/L) Velocidade Inicial (mol/(L-min))
1 0,10 0,10 1,23 \times 10^{-4}
2 0,20 0,10 4,92 \times 10^{-4}
3 0,20 0,20 9,84 \times 10^{-4}
Sabe-se que a energia de ativação (Ea) para esta reação é de -80 \mathrm{~kJ} / \mathrm{mol}, Considerando que a temperatura seja elevada para 50^{\circ} \mathrm{C} e que a concentração de B seja mantida constante em 0,10 \mathrm{~mol} / \mathrm{IL} qual será o tempo necessário para que a concentração de A diminua de 0,10 \mathrm{~mol} / \mathrm{L} para 0,025 \mathrm{~mol} / \mathrm{L} ?
Obs: Ao manter a concentração de B constante e assumir que ela não interfere na cinética de A, a reação pode ser tratada como ordem em A

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos a degradação de um composto A na presença de um estabilizador B estudada a 25^\circC, com velocidades iniciais dadas em função de [A] e [B]. Sabe-se que a energia de ativação é E_a=80\text{ kJ/mol}. Vamos:
  1. determinar a lei de velocidade e a constante de velocidade k a 25^\circC;
  2. usar a equação de Arrhenius para obter a constante de velocidade pseudo-segunda-ordem k' a 50^\circC (mantendo [B]=0,10 mol/L constante);
  3. integrar a lei de segunda ordem em A para calcular o tempo necessário para [A] cair de 0,10 mol/L a 0,025 mol/L.

Passo 2

Determinação da lei de velocidade e de k a 25^\circC.
Comparando experimento 1 e 2 (mesmo [B], dobra [A] ⇒ taxa quadruplica), conclui-se que a ordem em A é 2.
Comparando experimento 2 e 3 (mesma [A], dobra [B] ⇒ taxa dobra), conclui-se que a ordem em B é 1.
Logo a lei de velocidade é
v = k\,[A]^2\,[B].
Usando o experimento 1:
1,23\times10^{-4} = k\,(0,10)^2\,(0,10) \quad\Rightarrow\quad k = \frac{1,23\times10^{-4}}{10^{-3}} = 0,123\;\frac{\text{L}^2}{\text{mol}^2\cdot\text{min}}.
Como [B] será mantido constante em 0,10 mol/L, definimos a constante pseudo-segunda-ordem
k' = k\,[B] = 0,123\times0,10 = 0,0123\;\frac{\text{L}}{\text{mol}\cdot\text{min}}.

Passo 3

Cálculo de k' a 50^\circC via Arrhenius.
A equação de Arrhenius para a constante k' é
k'_2 = k'_1 \exp\Bigl[-\frac{E_a}{R}\Bigl(\frac{1}{T_2}-\frac{1}{T_1}\Bigr)\Bigr],
onde T_1=298 K, T_2=323 K, E_a=80\,000 J/mol e R=8,314 J/(mol·K).
Calculamos
\frac{1}{T_2}-\frac{1}{T_1} = \frac{1}{323}-\frac{1}{298} = -2{,}61\times10^{-4}\;\text{K}^{-1},
-\frac{E_a}{R}\Bigl(\frac{1}{T_2}-\frac{1}{T_1}\Bigr) = -\frac{80000}{8{,}314}\times(-2{,}61\times10^{-4}) \approx 2{,}51,
k'_2 = 0,0123 \exp(2{,}51)\approx0,0123\times12{,}34 = 0,1517\;\frac{\text{L}}{\text{mol}\cdot\text{min}}.

Passo 4

Integração da cinética de segunda ordem em A.
Para reação de segunda ordem em A:
\frac{d[A]}{dt} = -\,k'_2\,[A]^2 \quad\Longrightarrow\quad \int_{[A]_0}^{[A]_t}\frac{d[A]}{[A]^2} = -k'_2\int_0^t dt
gera a relação integrada
\frac{1}{[A]_t}-\frac{1}{[A]_0} = k'_2\,t.
Substituindo [A]_0=0,10 mol/L e [A]_t=0,025 mol/L:
\frac{1}{0,025}-\frac{1}{0,10} = 40-10 = 30,
t = \frac{30}{k'_2} = \frac{30}{0,1517} \approx 197{,}8\;\text{min}.

Resposta

O tempo necessário é aproximadamente 198 minutos.

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