A reação elementar irreversível 2 \mathrm{~A} \rightarrow \mathrm{~B} ocorre em fase gasosa em um reator tubular (de escoamento uniforme) isotérmico. O reagente A e um diluente C são alimentados em razão equimolar, e a conversão de A é de 80 \%. Se a vazão molar de A for reduzida à metade, qual será a conversão de A , assumindo que a vazão de alimentação de C não muda? Considere comportamento de gás ideal e que a temperatura do reator permanece inalterada. Qual é o objetivo deste problema?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede (sem resolver ainda).
  • Reação elementar irreversível: 2\mathrm{~A}\rightarrow \mathrm{~B} (fase gasosa).
  • Reator: tubular (escoamento do tipo PFR / escoamento plug), isotérmico.
  • Alimentação inicial: A e diluente C em razão equimolar, ou seja, vazões molares de entrada
    • F_{A0} para A,
    • F_{C0}=F_{A0} para C.
  • Conversão observada inicialmente: X_1=0{,}80 (80%).
  • Situação nova: a vazão molar de A é reduzida à metade, ou seja F'_{A0}=\tfrac{1}{2}F_{A0}, enquanto a vazão de C permanece F_{C0}=F_{A0}.
  • Condições adicionais: comportamento de gás ideal, temperatura constante (logo P/RT é constante) e velocidade isotérmica (logo constante k).
O que o enunciado pede:
  1. Calcular a nova conversão X_2 de A quando F_{A0} é reduzida à metade e F_{C0} não muda.
  2. Responder “Qual é o objetivo deste problema?” (interpretação/propósito).

Passo 2

Modelagem do PFR e definições das variáveis usadas (aulas rápidas e o porquê delas).
  • Em PFR isotérmico, o balanço molar diferencial para A é
\frac{dF_A}{dV}=r_A,
onde F_A é a vazão molar de A ao longo do reator (mol/s), V é o volume do reator e r_A é a taxa volumétrica de consumo de A (mol·m{-3}·s{-1}). Esse é o ponto de partida em projeto de reatores: variação de fluxo molar = taxa gerada/consumida por unidade de volume.
  • Para uma reação elementar bimolecular homoclínica 2A\rightarrow B, a lei de velocidade é de segunda ordem em A:
r_A = -k C_A^2,
onde k é a constante de velocidade (unidades: m3·mol{-1}·s^{-1} se C em mol·m^{-3}) e C_A é a concentração de A (mol·m^{-3}). O sinal negativo indica consumo.
  • Relação entre concentração e vazões molares: para gás ideal a temperatura T e pressão P constantes, a concentração total C_T = \dfrac{P}{RT} é constante. A concentração de A é
C_A = y_A C_T,
onde y_A é a fração molar de A no fluxo total e y_A=\dfrac{F_A}{F_T}, com F_T a vazão molar total no ponto considerado.
  • Conversão X de A definida por
X=\frac{F_{A0}-F_A}{F_{A0}}\quad\Rightarrow\quad F_A=F_{A0}(1-X).
  • Usando extensão de reação \xi: a estequiometria dá \xi = \dfrac{F_{A0}X}{2}. A vazão total ao longo do reator (partindo de B_0=0) é
F_T = F_{A0}+F_{C0}-\xi = F_{A0}\Bigl(1-\frac{X}{2}\Bigr)+F_{C0}.
Explicação: cada consumo de 2 mol de A gera 1 mol de B, então o número total de mols diminui.

Passo 3

Montagem da equação de projeto em termos de X.
  • Substituindo C_A = \dfrac{F_A}{F_T}C_T = \dfrac{F_{A0}(1-X)}{F_{A0}(1-\tfrac{X}{2})+F_{C0}}\,C_T em r_A=-kC_A^2, obtemos
r_A = -k C_T^2\left(\frac{F_{A0}(1-X)}{F_{A0}(1-\tfrac{X}{2})+F_{C0}}\right)^2.
  • O balanço do PFR escrito em X: dF_A/dV = r_A e dF_A = -F_{A0}\,dX. Portanto
-F_{A0}\frac{dX}{dV} = -k C_T^2\left(\frac{F_{A0}(1-X)}{F_{A0}(1-\tfrac{X}{2})+F_{C0}}\right)^2.
Cancela sinais e divide por F_{A0}:
\frac{dX}{dV} = k C_T^2 \,F_{A0}\,\frac{(1-X)^2}{\bigl(F_{A0}(1-\tfrac{X}{2})+F_{C0}\bigr)^2}.
  • Agora integramos de X=0 até X ao longo de V (volume do reator fixo). Colocando K\equiv k C_T^2 V (constante para o reator e condições dadas) obtemos a relação integral típica:
K\,F_{A0}=\int_{0}^{X} \frac{\bigl(F_{A0}(1-\tfrac{x}{2})+F_{C0}\bigr)^2}{(1-x)^2}\,dx.
Essa igualdade relaciona X, F_{A0}, F_{C0} e a constante K (que contém k,C_T,V). Observação didática: a integral do lado direito depende apenas das razões entre vazões iniciais, então é conveniente criar a razão adimensional
\alpha\equiv\frac{F_{C0}}{F_{A0}}.

Passo 4

Simplificação da integral em termos de \alpha (aulas de cálculo passo a passo).
  • Dividindo numerador e denominador por F_{A0}^2, define-se a função
J(X,\alpha)\equiv\int_{0}^{X}\frac{\bigl(\alpha+1-\tfrac{x}{2}\bigr)^2}{(1-x)^2}\,dx.
A relação do passo anterior fica
K = F_{A0}\,J(X,\alpha).
Explicação: K é fixo (mesmo reator, mesma T), logo F_{A0} J(X,\alpha) deve ser constante para a situação inicial e para a situação nova.
  • Vamos calcular analiticamente J(X,\alpha). Expandindo o numerador:
(\alpha+1-\tfrac{x}{2})^2=(\alpha+\tfrac{1}{2})^2-(\alpha+1)x+\tfrac{x^2}{4}.
Integrando termo a termo e simplificando (os detalhes de integração foram feitos passo a passo; resultado compactado abaixo) obtemos a forma fechada
J(X,\alpha)=(\alpha+\tfrac{1}{2})^2\frac{X}{1-X}+\frac{X}{4}-(\alpha+\tfrac{1}{2})\ln(1-X).
Breve interpretação: J cresce quando X cresce; o termo logaritmo vem de integrar frações envolvendo (1-x)^{-2}.

Passo 5

Aplicação numérica ao caso inicial (determinar o valor de K em termos de F_{A0}).
  • Situação inicial: \alpha_1=\dfrac{F_{C0}}{F_{A0}}=1 e X_1=0{,}80.
  • Para \alpha_1=1 temos \alpha_1+\tfrac{1}{2}=1{,}5 e (\alpha_1+\tfrac{1}{2})^2=2{,}25.
  • Usando a fórmula de J,
J(X_1,1)=2{,}25\cdot\frac{0{,}8}{0{,}2}+\frac{0{,}8}{4}-1{,}5\ln(0{,}2).
Calcule passo a passo:
2{,}25\cdot\frac{0{,}8}{0{,}2}=2{,}25\cdot4=9,
\frac{0{,}8}{4}=0{,}2,
-1{,}5\ln(0{,}2)=-1{,}5\cdot(-1{,}6094379\ldots)=+2{,}4141569\ldots
Somando:
J(0{,}8,1)\approx 9+0{,}2+2{,}4141569=11{,}6141569.
  • Da relação K=F_{A0}J(X_1,1) obtemos K em termos de F_{A0}:
K=F_{A0}\cdot 11{,}6141569.

Passo 6

Equação para a nova condição e redução ao problema de resolver por X_2.
  • Nova situação: F'_{A0}=\tfrac{1}{2}F_{A0}, F_{C0} mantido em F_{A0} implica
\alpha_2=\frac{F_{C0}}{F'_{A0}}=\frac{F_{A0}}{\tfrac{1}{2}F_{A0}}=2.
  • Relação de conservação da constante K: para a nova situação deve valer
K=F'_{A0}\,J(X_2,\alpha_2)=\tfrac{1}{2}F_{A0}\,J(X_2,2).
Igualando ao K anterior:
F_{A0}\cdot 11{,}6141569 = \tfrac{1}{2}F_{A0}\,J(X_2,2).
Cancela F_{A0}, obtendo a equação para X_2:
J(X_2,2)=2\cdot 11{,}6141569 = 23{,}2283138.

Passo 7

Resolver numericamente J(X,2)=23{,}2283138 para X (método e contas).
  • Para \alpha_2=2 temos \alpha_2+\tfrac{1}{2}=2{,}5 e (\alpha_2+\tfrac{1}{2})^2=6{,}25. Assim
J(X,2)=6{,}25\cdot\frac{X}{1-X}+\frac{X}{4}-2{,}5\ln(1-X).
  • Precisamos achar X\in(0,1) tal que J(X,2)=23{,}2283138. Faço uma busca numérica simples (bisseção/iteração) avaliando J em alguns pontos:
    • X=0{,}72 \Rightarrow J\approx 19{,}43 (menor que 23,228).
    • X=0{,}76 \Rightarrow J\approx 23{,}55 (maior que 23,228).
    • Refinando entre 0{,}72 e 0{,}76, testei X=0{,}7565\Rightarrow J\approx 23{,}116 (ainda um pouco menor) e X=0{,}7575\Rightarrow J\approx 23{,}257 (um pouco maior).
    • Interpolando entre esses valores obtém-se X_2\approx 0{,}7572 (aproximação para a raiz).
  • Portanto a nova conversão é aproximadamente X_2\approx 0{,}757, ou 75{,}7\%.

Passo 8

Interpretação física curta e encorajamento (por que a conversão caiu).
  • Física: reduzir a vazão molar de A à metade, mantendo C constante, aumenta a fração molar do diluente na alimentação ( \alpha passa de 1 para 2). Isso reduz a concentração inicial de A e diminui a velocidade inicial da reação (taxa \propto C_A^2), tendendo a reduzir conversão. Por outro lado, a vazão total de entrada diminui (portanto o tempo de residência aumenta), o que favorece conversão. No caso numérico os efeitos se combinam e o resultado líquido é uma queda pequena da conversão de 0{,}80 para aproximadamente 0{,}757. Boa notícia: não caiu muito, mas caiu.

Resposta

X_2 \approx 0{,}757 (ou seja, cerca de 75{,}7\%).
O objetivo do problema é mostrar como a composição da alimentação (presença de diluente) e a vazão molar influenciam a conversão em um reator PFR isotérmico — ou seja, treinar o uso do balanço molar em reatores, a lei de velocidade (segunda ordem para reação elementar 2A\to B) e o efeito do diluente/razão de vazões sobre a concentração e, portanto, sobre a conversão.

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