A reação elementar irreversível
ocorre em fase gasosa em um reator tubular (de escoamento uniforme) isotérmico. O reagente
e um diluente
são alimentados em razão equimolar, e a conversão de A é de
. Se a vazão molar de A for reduzida à metade, qual será a conversão de A , assumindo que a vazão de alimentação de C não muda? Considere comportamento de gás ideal e que a temperatura do reator permanece inalterada. Qual é o objetivo deste problema?
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede (sem resolver ainda).
- Reação elementar irreversível:
(fase gasosa). - Reator: tubular (escoamento do tipo PFR / escoamento plug), isotérmico.
- Alimentação inicial:
e diluente em razão equimolar, ou seja, vazões molares de entrada -
para , -
para .
-
- Conversão observada inicialmente:
(80%). - Situação nova: a vazão molar de
é reduzida à metade, ou seja , enquanto a vazão de permanece . - Condições adicionais: comportamento de gás ideal, temperatura constante (logo
é constante) e velocidade isotérmica (logo constante ).
O que o enunciado pede:
- Calcular a nova conversão
de quando é reduzida à metade e não muda. - Responder “Qual é o objetivo deste problema?” (interpretação/propósito).
Passo 2
Modelagem do PFR e definições das variáveis usadas (aulas rápidas e o porquê delas).
- Em PFR isotérmico, o balanço molar diferencial para
é
onde
é a vazão molar de
ao longo do reator (mol/s),
é o volume do reator e
é a taxa volumétrica de consumo de
(mol·m{-3}·s{-1}). Esse é o ponto de partida em projeto de reatores: variação de fluxo molar = taxa gerada/consumida por unidade de volume.
- Para uma reação elementar bimolecular homoclínica
, a lei de velocidade é de segunda ordem em :
onde
é a constante de velocidade (unidades: m3·mol{-1}·s^{-1} se
em mol·m^{-3}) e
é a concentração de
(mol·m^{-3}). O sinal negativo indica consumo.
- Relação entre concentração e vazões molares: para gás ideal a temperatura
e pressão constantes, a concentração total é constante. A concentração de é
onde
é a fração molar de
no fluxo total e
, com
a vazão molar total no ponto considerado.
- Conversão
de definida por
- Usando extensão de reação
: a estequiometria dá . A vazão total ao longo do reator (partindo de ) é
Explicação: cada consumo de 2 mol de
gera 1 mol de
, então o número total de mols diminui.
Passo 3
Montagem da equação de projeto em termos de
.
- Substituindo
em , obtemos
- O balanço do PFR escrito em
: e . Portanto
Cancela sinais e divide por
:
- Agora integramos de
até ao longo de (volume do reator fixo). Colocando (constante para o reator e condições dadas) obtemos a relação integral típica:
Essa igualdade relaciona
,
,
e a constante
(que contém
). Observação didática: a integral do lado direito depende apenas das razões entre vazões iniciais, então é conveniente criar a razão adimensional
Passo 4
Simplificação da integral em termos de
(aulas de cálculo passo a passo).
- Dividindo numerador e denominador por
, define-se a função
A relação do passo anterior fica
Explicação:
é fixo (mesmo reator, mesma
), logo
deve ser constante para a situação inicial e para a situação nova.
- Vamos calcular analiticamente
. Expandindo o numerador:
Integrando termo a termo e simplificando (os detalhes de integração foram feitos passo a passo; resultado compactado abaixo) obtemos a forma fechada
Breve interpretação:
cresce quando
cresce; o termo logaritmo vem de integrar frações envolvendo
.
Passo 5
Aplicação numérica ao caso inicial (determinar o valor de
em termos de
).
- Situação inicial:
e . - Para
temos e . - Usando a fórmula de
,
Calcule passo a passo:
Somando:
- Da relação
obtemos em termos de :
Passo 6
Equação para a nova condição e redução ao problema de resolver por
.
- Nova situação:
, mantido em implica
- Relação de conservação da constante
: para a nova situação deve valer
Igualando ao
anterior:
Cancela
, obtendo a equação para
:
Passo 7
Resolver numericamente
para
(método e contas).
- Para
temos e . Assim
-
Precisamos achar
tal que . Faço uma busca numérica simples (bisseção/iteração) avaliando em alguns pontos: -
(menor que 23,228). -
(maior que 23,228). - Refinando entre 0{,}72 e 0{,}76, testei
(ainda um pouco menor) e (um pouco maior). - Interpolando entre esses valores obtém-se
(aproximação para a raiz).
-
-
Portanto a nova conversão é aproximadamente
, ou .
Passo 8
Interpretação física curta e encorajamento (por que a conversão caiu).
- Física: reduzir a vazão molar de
à metade, mantendo constante, aumenta a fração molar do diluente na alimentação ( passa de para ). Isso reduz a concentração inicial de e diminui a velocidade inicial da reação (taxa ), tendendo a reduzir conversão. Por outro lado, a vazão total de entrada diminui (portanto o tempo de residência aumenta), o que favorece conversão. No caso numérico os efeitos se combinam e o resultado líquido é uma queda pequena da conversão de para aproximadamente . Boa notícia: não caiu muito, mas caiu.
Resposta
O objetivo do problema é mostrar como a composição da alimentação (presença de diluente) e a vazão molar influenciam a conversão em um reator PFR isotérmico — ou seja, treinar o uso do balanço molar em reatores, a lei de velocidade (segunda ordem para reação elementar