Deseja-se conduzir a reação A \rightarrow B em fase gasosa em um reator tubular que está disponível, e que consiste em 50 tubos paralelos, de 40 pés de comprimento, com um diâmetro interno de 0,75 polegada. Experimentos em escala de bancada forneceram a velocidade específica de reação para esta reação de primeira ordem como 0,00152 \mathrm{~s}^{-1} a 200^{\circ} \mathrm{F}, e 0,0740 \mathrm{~s}^{-1} a 300^{\circ} \mathrm{F}. A que temperatura deveria operar o reator para produzir uma conversão de A de 80 \% com uma alimentação de 500 \mathrm{lbm} / \mathrm{h} de A puro e uma pressão de operação de 100 psig ? O reagente A possui uma massa molecular igual a 73. Desvios do comportamento de gás ideal podem ser desprezados, e a reação reversa é insignificante nestas condições.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que ele fornece.
  • Pergunta: A que temperatura deve-se operar o reator tubular para obter uma conversão de 80\% de A com alimentação de 500\\ \mathrm{lbm/h} de A puro e pressão de operação 100\\ \mathrm{psig}?
  • Informações fornecidas:
    • Reator: 50 tubos paralelos, cada um com comprimento 40\\ \mathrm{ft} e diâmetro interno 0,75\\ \mathrm{in}.
    • Cinética (primeira ordem, irreversível): k(200^\circ\mathrm{F})=0,00152\\ \mathrm{s^{-1}} e k(300^\circ\mathrm{F})=0,0740\\ \mathrm{s^{-1}}.
    • Alimentação: \dot{m}=500\\ \mathrm{lbm/h} de A puro.
    • Pressão de operação: 100\\ \mathrm{psig}.
    • Massa molar de A: M=73\\ \mathrm{lbm/lbmol}.
    • Considerar gás ideal; reação não reversa significativa.
  • Meta final: encontrar a temperatura de operação (em ^\circ\mathrm{F}) tal que o volume disponível do reator seja suficiente para a conversão X=0{,}80.

Passo 2

Calcular o volume interno total disponível do reator (usar unidades coerentes).
  • Converter diâmetro e calcular área de seção transversal de cada tubo.
    • Diâmetro: d=0,75\\ \mathrm{in} = \dfrac{0,75}{12}\\ \mathrm{ft} = 0,0625\\ \mathrm{ft}.
    • Raio: r=\dfrac{d}{2}=0,03125\\ \mathrm{ft}.
    • Área: A_{\text{tube}}=\pi r^{2}=\pi(0,03125)^{2}\\ \mathrm{ft^{2}} \approx 0,00306796\\ \mathrm{ft^{2}}.
  • Volume por tubo: V_{\text{tube}}=A_{\text{tube}}\times L = 0,00306796\times 40\\ \mathrm{ft^{3}}\approx 0,1227184\\ \mathrm{ft^{3}}.
  • Volume total (50 tubos): V_{\text{av}}=50\times V_{\text{tube}}\approx 50\times 0,1227184\\ \mathrm{ft^{3}} = 6,13592\\ \mathrm{ft^{3}}.

Passo 3

Equação de projeto para PFR com reação de primeira ordem e fluxo volumétrico constante.
  • Para reação de primeira ordem irreversível A\rightarrow B com velocidade r_A = -k C_A, o balanço em regime estacionário num reator tubular ideal (PFR) dá a relação entre conversão X, constante cinética k e tempo de residência \tau:
\text{para primeira ordem:}\qquad X=1-\exp(-k\tau).
  • Isolar \tau:
\tau = -\dfrac{\ln(1-X)}{k}.
  • Observação importante sobre o fluxo volumétrico: a reação é A\rightarrow B (1 mol reage produz 1 mol); portanto o número de mols totais não muda, logo o caudal volumétrico Q no reator é praticamente constante (assumido gás ideal e sem variação de mols).
  • Relação entre volume requerido V_{\text{req}}, Q e \tau:
V_{\text{req}} = Q \tau.

Passo 4

Calcular o caudal volumétrico Q (no ponto de operação: P e T) a partir da alimentação mássica.
  • Primeiro, calcular a vazão molar de alimentação (em \mathrm{lbmol/s}):
\dot{n}=\dfrac{\dot{m}}{M}=\dfrac{500\\ \mathrm{lbm/h}}{73\\ \mathrm{lbm/lbmol}}= \dfrac{500}{73}\\ \mathrm{lbmol/h}\approx 6,849315\\ \mathrm{lbmol/h}.
  • Converter para \mathrm{lbmol/s}:
\dot{n}=\dfrac{6,849315}{3600}\\ \mathrm{lbmol/s}\approx 0,00190259\\ \mathrm{lbmol/s}.
  • Pressão absoluta: P_{\text{abs}}=100\\ \mathrm{psig}+14,7\\ \mathrm{psi}=114,7\\ \mathrm{psia}.
  • Constante dos gases (unidades compatíveis com \mathrm{ft^{3},\\ psia,\\ lbmol,\\ R}):
R=10{,}73159\\ \dfrac{\mathrm{psia\\ ft^{3}}}{\mathrm{lbmol\\ R}}.
  • Temperatura absoluta (Rankine): \,T_R=T(^{\circ}\mathrm{F})+459{,}67.
  • Caudal volumétrico (em \mathrm{ft^{3}/s}):
Q=\dot{n}\dfrac{R\,T_R}{P_{\text{abs}}}.
  • Volume requerido para alcançar X=0{,}80:
V_{\text{req}}=Q\cdot \tau = \dot{n}\dfrac{R\,T_R}{P_{\text{abs}}}\cdot \dfrac{-\ln(1-X)}{k(T)}.
  • Colocar X=0{,}80 implica -\ln(1-X)= -\ln(0{,}2)=\ln 5 \approx 1{,}6094379.

Passo 5

Relacionar o volume disponível com o volume requerido e obter uma expressão que liga k(T) e T_R.
  • Condição de projeto: V_{\text{req}}=V_{\text{av}}. Assim
V_{\text{av}}=\dot{n}\dfrac{R\,T_R}{P_{\text{abs}}}\cdot \dfrac{\ln 5}{k(T)}.
  • Isolar k(T):
k(T)=\dot{n}\dfrac{R\,T_R}{P_{\text{abs}}}\cdot \dfrac{\ln 5}{V_{\text{av}}}.
  • Todas as quantidades nessa expressão são conhecidas, exceto T_R e k(T). Calculamos a constante multiplicativa (chamar de C) de forma que
k(T)=C\\ T_R,
onde
C=\dfrac{\dot{n}R\ln 5}{P_{\text{abs}}\,V_{\text{av}}}.
  • Calcular numericamente C usando os valores obtidos:
    • \dot{n}=0,00190259\\ \mathrm{lbmol/s},
    • R=10{,}73159\\ \mathrm{psia\,ft^{3}/(lbmol\,R)},
    • \ln 5\approx 1{,}6094379,
    • P_{\text{abs}}=114{,}7\\ \mathrm{psia},
    • V_{\text{av}}=6{,}13592\\ \mathrm{ft^{3}}.
  • Fazer o produto no numerador:
\dot{n}R\ln 5 \approx 0{,}00190259\times 10{,}73159\times 1{,}6094379 \approx 0{,}0328613.
  • Denominador:
P_{\text{abs}}\,V_{\text{av}} \approx 114{,}7\times 6{,}13592 \approx 703{,}799.
  • Portanto
C=\dfrac{0{,}0328613}{703{,}799}\approx 4{,}6689\times 10^{-5}\\ \mathrm{s^{-1}\,R^{-1}}.
  • Logo a condição de projeto é
k(T)=4{,}6689\times 10^{-5}\;T_R.

Passo 6

Expressar k(T) como função de T usando Arrhenius (a partir dos dois pontos experimentais).
  • Os dados cinéticos dados são dois pares (T,k):
    • k_{1}=0{,}00152\\ \mathrm{s^{-1}} em T_{1}=200^\circ\mathrm{F}\Rightarrow T_{1R}=200+459{,}67=659{,}67\\ \mathrm{R}.
    • k_{2}=0{,}0740\\ \mathrm{s^{-1}} em T_{2}=300^\circ\mathrm{F}\Rightarrow T_{2R}=300+459{,}67=759{,}67\\ \mathrm{R}.
  • Para Arrhenius (ou, equivalentemente, linear em \ln k versus 1/T), usa-se a interpolação:
\ln k(T)=\ln k_{1} + (\ln k_{2}-\ln k_{1})\cdot \dfrac{\dfrac{1}{T_R}-\dfrac{1}{T_{1R}}}{\dfrac{1}{T_{2R}}-\dfrac{1}{T_{1R}}}.
  • Calcular \ln k_{1} e \ln k_{2}:
    • \ln k_{1}=\ln(0{,}00152)\approx -6{,}48905.
    • \ln k_{2}=\ln(0{,}0740)\approx -2{,}60369.
  • Assim \ln k(T) fica uma função explícita de 1/T_R que permite calcular k(T)=\exp(\ln k(T)) para qualquer T_R.

Passo 7

Resolver numericamente a equação k_{\text{Arrhenius}}(T)=C\,T_R.
  • Precisamos encontrar T_R que satisfaça
\exp\!\big(\ln k(T_R)\big) = C\,T_R,
com \ln k(T_R) dado pela interpolação em \dfrac{1}{T_R} do passo anterior.
  • Procedimento numérico (bisseção/iterações simples): avaliar a diferença
f(T_R)=k_{\text{Arr}}(T_R)-C\,T_R
e achar T_R tal que f(T_R)=0.
  • Avaliações iniciais (apenas alguns pontos para localizar a raiz):
    • Em T_R=700\\ \mathrm{R} ( \approx 240{,}33^\circ\mathrm{F}): calcula-se \ln k por interpolação e obtém-se k_{\text{Arr}}\approx 0{,}00834\\ \mathrm{s^{-1}}. Enquanto C\,T_R\approx 0{,}03268\\ \mathrm{s^{-1}}. Logo k_{\text{Arr}}<C\,T_R (f negativa).
    • Em T_R=740\\ \mathrm{R} ( \approx 280{,}33^\circ\mathrm{F}): obtém-se k_{\text{Arr}}\approx 0{,}0375\\ \mathrm{s^{-1}} e C\,T_R\approx 0{,}03455\\ \mathrm{s^{-1}}. Aqui k_{\text{Arr}}>C\,T_R (f positiva).
  • Conclusão: raiz entre 700\\ \mathrm{R} e 740\\ \mathrm{R}.
  • Refinando por bisseção/iterações (mostrar alguns passos):
    • T_R=730\\ \mathrm{R}: k_{\text{Arr}}\approx 0{,}0261, C\,T_R\approx 0{,}03407 \Rightarrow f<0.
    • T_R=735\\ \mathrm{R}: k_{\text{Arr}}\approx 0{,}0314, C\,T_R\approx 0{,}03431 \Rightarrow f<0.
    • T_R=737{,}5\\ \mathrm{R}: k_{\text{Arr}}\approx 0{,}0342, C\,T_R\approx 0{,}03443 \Rightarrow f ligeiramente negativo.
    • T_R=738{,}5\\ \mathrm{R}: k_{\text{Arr}}\approx 0{,}0356, C\,T_R\approx 0{,}03448 \Rightarrow f positivo.
  • Interpolando entre 737{,}5\\ \mathrm{R} (f ligeiramente negativo) e 738{,}5\\ \mathrm{R} (f positivo) obtém-se a raiz aproximada
T_R \approx 737{,}67\\ \mathrm{R}.
  • Converter para ^\circ\mathrm{F}:
T(^{\circ}\mathrm{F}) = T_R - 459{,}67 \approx 737{,}67 - 459{,}67 = 278{,}00\\ ^\circ\mathrm{F}.

Passo 8

Verificação rápida (checagem consistente):
  • A T\approx 278{,}0^\circ\mathrm{F} ( T_R\approx 737{,}67\\ \mathrm{R}):
    • k_{\text{Arr}} calculado pela interpolação dá aproximadamente k\approx 0{,}0344\\ \mathrm{s^{-1}} (mesma ordem que C\,T_R).
    • Tempo de residência necessário \tau=\dfrac{\ln 5}{k}\approx \dfrac{1{,}60944}{0{,}0344}\approx 46{,}8\\ \mathrm{s}.
    • Caudal volumétrico Q=\dot{n}R T_R/P \approx 0{,}00190259\times 10{,}73159\times 737{,}67/114{,}7 \approx 0{,}1312\\ \mathrm{ft^{3}/s}.
    • Volume requerido V_{\text{req}}=Q\tau\approx 0{,}1312\times 46{,}8\approx 6{,}14\\ \mathrm{ft^{3}}, compatível com V_{\text{av}}\approx 6{,}136\\ \mathrm{ft^{3}}. (pequenas diferenças de arredondamento aceitáveis.)

Resposta

T \approx 278{,}0^\circ\mathrm{F}

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