Uma reação bimolecular de segunda ordem, A+B \rightarrow C+D, ocorre em um sistema líquido homogêneo. Os reagentes e os produtos são mutuamente solúveis, e a variação de volume devida à reação é desprezível. A alimentação a um reator tubular (escoamento uniforme) que opera essencialmente de forma isotérmica a 260^{\circ} \mathrm{F} consiste em 210 \mathrm{lbm} / \mathrm{h} de A e 260 \mathrm{lbm} / \mathrm{h} de B. O volume total do reator é 5,33 \mathrm{ft}^{3} \mathrm{e}, com esta vazão de alimentação, 50 \% do composto A da alimentação são convertidos. Propõe-se que, para aumentar a conversão, um reator agitado de 100 gal de capacidade seja instalado em série com um reator tubular, e imediatamente antes de um reator tubular. Se o reator com agitação operar à mesma temperatura, estime a conversão de A que pode ser esperada no novo sistema; despreze a reação reversa. Outros dados para as variáveis incluem:
\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}
Massa específica a 260^{\circ} \mathrm{F}\left(\mathrm{lb}_{\mathrm{m}} / \mathrm{ft}^{3}\right) 47,8 54,0
Massa molar 139 172
Capacidade calorífica \left(\mathrm{Btu} / \mathrm{lb}_{\mathrm{m}} \cdot{ }^{\circ} \mathrm{F}\right) 0,55 0,52
Viscosidade (cP) 0,32 0,45
Ponto de ebulição \left({ }^{\circ} \mathrm{F}\right) 390 415

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que é pedido (peguei todos os números do enunciado).
Dados do problema:
  • Reação: A+B \rightarrow C+D, irreversível, cinética de segunda ordem com taxa -r_A = k\,c_A c_B.
  • Alimentação (massa por hora): \dot{m}_A=210\\ \mathrm{lbm/h}, \dot{m}_B=260\\ \mathrm{lbm/h}.
  • Densidades (a 260^{\circ}\mathrm{F}): \rho_A=47,8\\ \mathrm{lbm/ft^3}, \rho_B=54,0\\ \mathrm{lbm/ft^3}.
  • Massas molares: M_A=139\\ \mathrm{lbm/lbmol}, M_B=172\\ \mathrm{lbm/lbmol}.
  • Reator tubular (PFR) original: volume V_{PFR}=5,33\\ \mathrm{ft^3}. Com essa alimentação, ocorre conversão de A igual a 50\% (isto é, X=0{,}50).
  • Proposta: colocar um reator agitado (CSTR) de 100 gal em série, imediatamente antes do reator tubular (ou seja, alimentação → CSTR (100 gal) → PFR (5,33 ft^3)). Reator agitado opera à mesma temperatura; desprezar reversa e variação de volume da reação.
  • Conversão inicial conhecida no PFR simples: X_{orig}=0{,}50.
O que se pede:
  • Estimar a nova conversão de A no sistema CSTR (100 gal) em série com o PFR (5,33 ft^3), ou seja a conversão total após os dois reatores em série.
Observações sobre unidades e convensões que vou usar (vai aparecer nas contas):
  • Converter 100 gal para pés cúbicos: 1\\ \mathrm{ft^3}=7{,}48052\\ \mathrm{gal}.
  • Vou trabalhar com fluxos molares em \mathrm{lbmol/h} e concentrações em \mathrm{lbmol/ft^3}. Volumétrico de alimentação \dot{V} (ft^3/h) será somatório dos volumes de cada componente (assumindo aditividade de volumes e variação volumétrica desprezível).
  • Para o PFR e CSTR usarei as equações padrão de balanço com taxa -r_A=k c_A c_B. Não vou pedir nada a mais — uso somente os dados fornecidos.

Passo 2

Converter dados de fluxo e calcular fluxos volumétricos e molares iniciais (inlet).
  1. Vazões volumétricas dos fluxos puros (assumindo volumes aditivos):
\dot{V}_A=\frac{\dot{m}_A}{\rho_A}=\frac{210}{47{,}8}\\ \mathrm{ft^3/h}, \qquad \dot{V}_B=\frac{\dot{m}_B}{\rho_B}=\frac{260}{54{,}0}\\ \mathrm{ft^3/h}.
Calculemos numericamente:
\dot{V}_A \approx 4{,}393\\ \mathrm{ft^3/h},\qquad \dot{V}_B \approx 4{,}815\\ \mathrm{ft^3/h}.
Fluxo volumétrico total:
\dot{V}=\dot{V}_A+\dot{V}_B \approx 9{,}208\\ \mathrm{ft^3/h}.
  1. Fluxos molares de entrada (lbmol/h):
F_{A0}=\frac{\dot{m}_A}{M_A}=\frac{210}{139}\\ \mathrm{lbmol/h}\approx 1{,}51079\\ \mathrm{lbmol/h},
F_{B0}=\frac{\dot{m}_B}{M_B}=\frac{260}{172}\\ \mathrm{lbmol/h}\approx 1{,}51163\\ \mathrm{lbmol/h}.
Observação: os fluxos molares estão praticamente estequiométricos ( F_{B0} ligeiramente maior que F_{A0}).

Passo 3

Obter a constante de velocidade k a partir do PFR original (sabemos V_{PFR} e X_{orig}=0{,}50).
  1. Equação de projeto do PFR para reação A+B\to produtos com taxa -r_A=k c_A c_B, fluxo volumétrico constante \dot{V}, e definindo X como conversão de A:
  • F_A = F_{A0}(1-X).
  • F_B = F_{B0} - F_{A0} X.
  • c_A = \dfrac{F_A}{\dot{V}}, c_B=\dfrac{F_B}{\dot{V}}.
    Balanço diferencial do PFR:
\frac{dF_A}{dV}=r_A=-k\,c_A c_B = -k\,\frac{F_A F_B}{\dot{V}^2}.
Com dF_A=-F_{A0}\,dX obtemos, após simplificação,
V_{PFR}=\frac{\dot{V}^2}{k\,F_{A0}}\int_{0}^{X_{orig}}\frac{dX}{(1-X)(\beta - X)},
onde \beta=\dfrac{F_{B0}}{F_{A0}}.
  1. O integral tem forma fechada por frações parciais:
\int_{0}^{X}\frac{dX}{(1-X)(\beta-X)}=\frac{1}{\beta-1}\left[-\ln(1-X)+\ln\!\left(\frac{\beta-X}{\beta}\right)\right].
  1. Calcular \beta e o valor do integral para X_{orig}=0{,}50:
\beta=\frac{F_{B0}}{F_{A0}}\approx \frac{1{,}51163}{1{,}51079}\approx 1{,}00054.
Avaliação do integral numérico (para X=0{,}50) dá aproximadamente I\approx 1{,}0000 (por causa de \beta muito próximo de 1, o integral fica próximo de \dfrac{X}{1-X} quando \beta=1; para X=0{,}5 isto seria 1{,}0).
  1. Isolando k da equação do PFR:
k=\frac{\dot{V}^2}{F_{A0}\,V_{PFR}}\;I.
Substituindo números:
\dot{V}^2\approx (9{,}208)^2\approx 84{,}80\\ \mathrm{ft^6/h^2},
F_{A0}\approx 1{,}51079\\ \mathrm{lbmol/h},\quad V_{PFR}=5{,}33\\ \mathrm{ft^3},\quad I\approx 1{,}00055.
Assim (fazendo as contas):
k\approx\frac{84{,}80\cdot 1{,}00055}{1{,}51079\cdot 5{,}33}\approx 10{,}53\\ \frac{\mathrm{ft^3}}{\mathrm{lbmol}\cdot\mathrm{h}}.
Comentário didático: k tem unidades de \mathrm{volume}/(\mathrm{mol}\cdot\mathrm{tempo}) para reação de segunda ordem; aqui obtemos k\approx 10{,}5\\ \mathrm{ft^3}/(\mathrm{lbmol}\cdot\mathrm{h}).

Passo 4

Modelos de projeto para CSTR e PFR em série — estabelecimento das equações que vou usar para o novo sistema.
  1. CSTR (volume V_C) com alimentação F_{A0},F_{B0} e conversão X_1 na saída:
  • Em estado estacionário, balanço de A: F_{A0}-F_{A0}(1-X_1) = -r_A\,V_C.
  • Como r_A=-k c_A c_B = -k\frac{F_{A0}(1-X_1)}{\dot{V}}\frac{(F_{B0}-F_{A0}X_1)}{\dot{V}},
  • Logo a equação do projeto do CSTR fica
V_C = \frac{\dot{V}^2}{k}\,\frac{X_1}{(1-X_1)\bigl(F_{B0}-F_{A0}X_1\bigr)}.
Isto é uma equação em X_1 não linear que será resolvida numericamente.
  1. Saída do CSTR entra no PFR (mesmo \dot{V} porque a vazão volumétrica de alimentação é a mesma). Para o PFR em série (volume V_{PFR}), com condições iniciais:
  • Fluxos de entrada ao PFR: F_{A,in}=F_{A0}(1-X_1), F_{B,in}=F_{B0}-F_{A0}X_1.
  • Definir conversão relativa ao entrar no PFR como X_2 (ou X' nas fórmulas anteriores); saída do PFR dará F_{A,out}=F_{A,in}(1-X_2).
  • Equação do PFR fica (mesma forma que antes, mas com F_{A,in} e \beta_{in}=F_{B,in}/F_{A,in}):
V_{PFR}=\frac{\dot{V}^2}{k\,F_{A,in}}\int_{0}^{X_2}\frac{dX}{(1-X)(\beta_{in}-X)}.
  • A conversão total do sistema (alimentação → CSTR → PFR) é
X_{total}=1-\frac{F_{A,out}}{F_{A0}} = 1-(1-X_1)(1-X_2) = X_1 + (1-X_1)X_2.

Passo 5

Converter o volume do CSTR de galões para pés cúbicos e preparar os valores numéricos para resolver X_1.
  1. Volume do CSTR:
V_C = \frac{100\\ \mathrm{gal}}{7{,}48052\\ \mathrm{gal/ft^3}} \approx 13{,}368\\ \mathrm{ft^3}.
  1. Reescrever a equação do CSTR com constantes numéricas:
V_C = \frac{\dot{V}^2}{k}\,\frac{X_1}{(1-X_1)(F_{B0}-F_{A0}X_1)}.
Definamos a constante
C=\frac{\dot{V}^2}{k}\approx\frac{84{,}80}{10{,}53}\approx 8{,}059\\ \mathrm{(unidades\\ compatíveis)}.í
Logo precisamos resolver
\frac{X_1}{(1-X_1)(F_{B0}-F_{A0}X_1)}=\frac{V_C}{C}\approx\frac{13{,}368}{8{,}059}\approx 1{,}659.

Passo 6

Resolver numericamente a equação do CSTR para X_1.
Equação a resolver (rearranjada):
g(X_1) = X_1 - 1{,}659\,(1-X_1)\bigl(F_{B0}-F_{A0}X_1\bigr)=0,
com F_{A0}\approx 1{,}51079 e F_{B0}\approx 1{,}51163.
Iterando (método de tentativa e ajuste simples — aqui mostro os passos de tentativa):
  • X_1=0{,}50 \Rightarrow g\approx -0{,}128 (negativo).
  • X_1=0{,}60 \Rightarrow g\approx +0{,}198 (positivo).
  • Entre 0{,}50 e 0{,}60: testar 0{,}53 \Rightarrow g\approx -0{,}024.
  • Testar 0{,}535 \Rightarrow g\approx -0{,}006.
  • Testar 0{,}537 \Rightarrow g\approx -0{,}001.
  • Testar 0{,}538 \Rightarrow g\approx +0{,}003.
Interpolando, a raiz fica em torno de
X_1\approx 0{,}5372 \quad(\text{ou }53{,}7\%).
Interpretação: o CSTR de 100 gal sozinho eleva a conversão de A da alimentação para cerca de 53{,}7\% na saída do tanque.

Passo 7

Determinar as condições de entrada do PFR em série e resolver para a conversão no PFR ( X_2).
  1. Fluxos molares na entrada do PFR (saída do CSTR):
F_{A,in}=F_{A0}(1-X_1)\approx 1{,}51079\cdot(1-0{,}5372)\approx 0{,}6992\\ \mathrm{lbmol/h},
F_{B,in}=F_{B0}-F_{A0}X_1\approx 1{,}51163-1{,}51079\cdot 0{,}5372\approx 0{,}7003\\ \mathrm{lbmol/h}.
Observação: novamente as correntes estão praticamente estequiométricas na entrada do PFR (ligeira sobra de B).
  1. Constante para o PFR em regime a partir dessas condições:
\beta_{in}=\frac{F_{B,in}}{F_{A,in}}\approx \frac{0{,}7003}{0{,}6992}\approx 1{,}0016.
  1. A equação do PFR dá (usando a mesma forma do integral):
I_{in}=\int_{0}^{X_2}\frac{dX}{(1-X)(\beta_{in}-X)}=\frac{k\,F_{A,in}\,V_{PFR}}{\dot{V}^2}.
Calculemos o lado direito numericamente:
k\,F_{A,in}\,V_{PFR}\approx 10{,}53\times 0{,}6992\times 5{,}33\approx 39{,}23,
\dot{V}^2\approx 84{,}80\quad\Rightarrow\quad I_{in}\approx \frac{39{,}23}{84{,}80}\approx 0{,}4626.
  1. Usando a expressão fechada do integral:
I_{in}=\frac{1}{\beta_{in}-1}\left[-\ln(1-X_2)+\ln\!\left(\frac{\beta_{in}-X_2}{\beta_{in}}\right)\right].
Agora resolvemos numericamente esta equação para X_2, com \beta_{in}-1\approx 0{,}00162 e I_{in}\approx 0{,}4626.

Passo 8

Resolver numericamente para X_2 (conversão no PFR a partir da entrada do CSTR).
Faço algumas tentativas com a fórmula acima:
  • X_2=0{,}30 \Rightarrow I_{in}\approx 0{,}4295 (menor que 0{,}4626).
  • X_2=0{,}32 \Rightarrow I_{in}\approx 0{,}49 (maior).
  • Interpolando e refinando, encontro
X_2\approx 0{,}316\quad(\text{ou }31{,}6\%).
Comentário: esse X_2 é a fração de A consumida no PFR a partir do que entrou nele; não é a conversão total desde a alimentação do sistema.

Passo 9

Calcular a conversão total do sistema em série (CSTR + PFR).
A conversão total é
X_{total}=X_1 + (1-X_1)X_2.
Substituindo X_1\approx 0{,}5372 e X_2\approx 0{,}316:
X_{total}\approx 0{,}5372 + (1-0{,}5372)\cdot 0{,}316 =0{,}5372 + 0{,}4628\cdot 0{,}316 \approx 0{,}5372 + 0{,}1463 \approx 0{,}6835.
Portanto a conversão final esperada é aproximadamente 68{,}3\%.

Resposta

X_{\text{total}}\approx 0{,}683 (ou seja, aproximadamente 68{,}3\% de A convertido).

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