A reação em fase gasosa: \mathrm{A}+\mathrm{B} \rightarrow \mathrm{R}+\mathrm{S} é de segunda ordem e sua equação de velocidade é conhecida: \left(-r_{\mathrm{A}}\right)=(500 \mathrm{~L} / \mathrm{mol} min ) \mathrm{C}_{\mathrm{A}} \mathrm{C}_{\mathrm{B}}.
Esta reação será realizada em um reator tubular de 100 mL que opera com os seguintes parâmetros de alimentação: (i) - vazão =50 \mathrm{~mL} / \mathrm{min} e (ii) -\mathrm{C}_{\mathrm{A} 0}=\mathrm{C}_{\mathrm{B} 0}=0,01 \mathrm{mols} / \mathrm{L}
A - Qual a conversão obtida neste reator?
Mantidas constantes as condições de alimentação (vazão volumétrica e concentração dos reagentes):
B) Qual o volume de um reator de mistura para se obter a mesma conversão?
C - Qual a conversão a ser obtida em um reator de mistura de mesmo volume que o reator tubular inicial 100 mL )?

Passo 1

O enunciado pede três coisas:
  • A: calcular a conversão obtida num reator tubular (PFR) de 100\\ \mathrm{mL} para a reação \mathrm{A}+\mathrm{B}\to\mathrm{R}+\mathrm{S} cuja velocidade é \left(-r_A\right)=\left(500\\ \mathrm{L}/\mathrm{mol\\ min}\right)C_A C_B, com alimentação volumétrica e concentrações dadas.
  • B: com as mesmas condições de alimentação (mesma vazão e concentrações iniciais), achar o volume de um reator de mistura contínua (CSTR) necessário para obter a mesma conversão do item A.
  • C: calcular a conversão em um CSTR de mesmo volume que o reator tubular inicial ( 100\\ \mathrm{mL}).
Dados fornecidos (vou já padronizar unidades em L e mol/min, como é necessário):
\begin{aligned} &k=500\\ \mathrm{L\\ mol^{-1}\\ min^{-1}},\\\ &V_{\text{PFR}}=100\\ \mathrm{mL}=0{,}1\\ \mathrm{L},\\\ &\dot{V}=50\\ \mathrm{mL/min}=0{,}05\\ \mathrm{L/min},\\\ &C_{A0}=C_{B0}=0{,}01\\ \mathrm{mol/L}. \end{aligned}
Observação numérica útil que vou usar mais adiante:
F_{A0}=C_{A0}\,\dot{V}=0{,}01\cdot 0{,}05=0{,}0005\\ \mathrm{mol/min}.

Passo 2

Conceitos e relações que vamos usar (explicados de forma bem didática):
  • Definição de conversão: \displaystyle X=\frac{C_{A0}-C_A}{C_{A0}}. Assim C_A=C_{A0}(1-X).
  • Para alimentação estequiométrica equimolar ( C_{A0}=C_{B0}) e reação 1:1, vale também C_B=C_{B0}(1-X)=C_{A0}(1-X).
  • Lei de velocidade dada: \displaystyle (-r_A)=k\,C_A C_B. Com C_A=C_B=C_{A0}(1-X) obtemos
(-r_A)=k\,C_{A0}^2(1-X)^2.
  • Para reatores contínuos ideais:
    • PFR (reator tubular, fluxo pistonado): \displaystyle V=F_{A0}\int_{0}^{X}\frac{dX}{(-r_A)}.
    • CSTR (reator de mistura): \displaystyle V=\frac{F_{A0}X}{(-r_A)_{\text{saída}}}í, onde (-r_A)_{\text{saída}}í é a taxa avaliada nas concentrações de saída (que na CSTR são as do reator).
Explico por que essas fórmulas: no PFR integramos a variação de conversão ao longo do comprimento; no CSTR a mistura é homogênea, então vazão de A consumida por tempo ( F_{A0}X) deve igualar o consumo volumétrico V(-r_A).

Passo 3

Resolvendo o item A (PFR, V=0{,}1\\ \mathrm{L}) passo a passo.
Começo da equação do PFR:
V=F_{A0}\int_{0}^{X}\frac{dX}{k\,C_{A0}^2(1-X)^2}.
Factorizo constantes:
V=\frac{F_{A0}}{k\,C_{A0}^2}\int_{0}^{X}\frac{dX}{(1-X)^2}.
Calculo da integral (lembrando que \int (1-X)^{-2} dX = \frac{1}{1-X} ):
\int_{0}^{X}\frac{dX}{(1-X)^2}=\left.\frac{1}{1-X}\right|_{0}^{X}=\frac{1}{1-X}-1.
Portanto
V=\frac{F_{A0}}{k\,C_{A0}^2}\left(\frac{1}{1-X}-1\right).
Isolando X:
\frac{1}{1-X}-1=\frac{k\,C_{A0}^2\,V}{F_{A0}}\quad\Rightarrow\quad \frac{1}{1-X}=1+\frac{k\,C_{A0}^2\,V}{F_{A0}}.
Logo
1-X=\frac{1}{1+\dfrac{k\,C_{A0}^2\,V}{F_{A0}}}\quad\Rightarrow\quad X=\frac{\dfrac{k\,C_{A0}^2\,V}{F_{A0}}}{1+\dfrac{k\,C_{A0}^2\,V}{F_{A0}}}.
Agora calculo numérico dos termos:
k\,C_{A0}^2=500\cdot(0{,}01)^2=500\cdot 10^{-4}=0{,}05,
\frac{k\,C_{A0}^2\,V}{F_{A0}}=\frac{0{,}05\cdot 0{,}1}{0{,}0005}=\frac{0{,}005}{0{,}0005}=10.
Portanto
X=\frac{10}{1+10}=\frac{10}{11}\approx 0{,}90909\\ (\text{ou }90{,}909\%).

Passo 4

Resolvendo o item B (volume de CSTR que dá a mesma conversão X=10/11).
Equação do CSTR:
V=\frac{F_{A0}X}{k\,C_{A0}^2(1-X)^2}.
Substituo os valores numéricos já conhecidos:
1-X=\frac{1}{11}\approx 0{,}090909,\qquad (1-X)^2=\left(\frac{1}{11}\right)^2=\frac{1}{121}\approx 0{,}00826446.
O denominador fica
k\,C_{A0}^2(1-X)^2=0{,}05\cdot \frac{1}{121}=0{,}05\cdot 0{,}00826446\approx 0{,}000413223.
O numerador é
F_{A0}X=0{,}0005\cdot\frac{10}{11}=0{,}000454545\\ \mathrm{mol/min}.
Logo
V=\frac{0{,}000454545}{0{,}000413223}\approx 1{,}1\\ \mathrm{L}=1100\\ \mathrm{mL}.
Interpretação rápida: para a mesma conversão obtida no PFR pequeno é necessário um CSTR bem maior — típico quando a reação é de ordem maior que 1 com alimentação equimolar.

Passo 5

Resolvendo o item C (qual a conversão em um CSTR com V=0{,}1\\ \mathrm{L}).
Usamos novamente a equação do CSTR, agora resolvendo para X:
V=\frac{F_{A0}X}{k\,C_{A0}^2(1-X)^2}.
Coloco todos os termos no mesmo lado e obtemos uma equação quadrática em X. Defino a=k\,C_{A0}^2 (já calculado a=0{,}05) e escrevo:
F_{A0}X = aV(1-X)^2.
Expandindo o lado direito:
F_{A0}X = aV(1-2X+X^2)=aV -2aV X + aV X^2.
Reorganizando em forma padrão \alpha X^2 + \beta X + \gamma =0:
aV X^2 + X(-2aV - F_{A0}) + aV =0.
Agora os números: aV=0{,}05\cdot 0{,}1=0{,}005 e F_{A0}=0{,}0005. Portanto
0{,}005 X^2 - (0{,}01+0{,}0005)X + 0{,}005 =0,
que é
0{,}005 X^2 - 0{,}0105 X + 0{,}005 =0.
Multiplico por 200 para números mais limpos:
X^2 - 2{,}1 X + 1 =0.
Uso a fórmula quadrática: \displaystyle X=\frac{2{,}1\pm\sqrt{(2{,}1)^2-4}}{2}=\frac{2{,}1\pm\sqrt{0{,}41}}{2}.
\sqrt{0{,}41}\approx 0{,}640312. Assim as duas raízes são
X_1=\frac{2{,}1+0{,}640312}{2}\approx 1{,}370156\quad(\text{não física, }X>1),ãí
X_2=\frac{2{,}1-0{,}640312}{2}\approx 0{,}729844.
A raiz física é \displaystyle X\approx 0{,}7298 (ou 72{,}98\%).

Resposta

A: X=\dfrac{10}{11}\approx 0{,}90909 (ou 90{,}909\%).
B: V_{\text{CSTR}} \approx 1{,}1\\ \mathrm{L} (ou 1100\\ \mathrm{mL}).
C: X_{\text{CSTR, }V=0{,}1\mathrm{L}}\approx 0{,}7298 (ou 72{,}98\%).

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