A reação em fase gasosa: \mathrm{A}+\mathrm{B} \rightarrow \mathrm{R}+\mathrm{S} é de segunda ordem e sua equação de velocidade é conhecida: \left(-r_{\mathrm{A}}\right)=(500 \mathrm{~L} / \mathrm{mol} min ) \mathrm{C}_{\mathrm{A}} \mathrm{C}_{\mathrm{B}}.
Esta reação será realizada em um reator tubular de 100 mL que opera com os seguintes parâmetros de alimentação: (i) - vazão =50 \mathrm{~mL} / \mathrm{min} e (ii) -\mathrm{C}_{\mathrm{A} 0}=\mathrm{C}_{\mathrm{B} 0}=0,01 \mathrm{mols} / \mathrm{L}
A - Qual a conversão obtida neste reator?
Mantidas constantes as condições de alimentação (vazão volumétrica e concentração dos reagentes):
B) Qual o volume de um reator de mistura para se obter a mesma conversão?
C - Qual a conversão a ser obtida em um reator de mistura de mesmo volume que o reator tubular inicial 100 mL )?
Passo 1
O enunciado pede três coisas:
A: calcular a conversão obtida num reator tubular (PFR) de 100\\ \mathrm{mL} para a reação \mathrm{A}+\mathrm{B}\to\mathrm{R}+\mathrm{S} cuja velocidade é \left(-r_A\right)=\left(500\\ \mathrm{L}/\mathrm{mol\\ min}\right)C_A C_B, com alimentação volumétrica e concentrações dadas.
B: com as mesmas condições de alimentação (mesma vazão e concentrações iniciais), achar o volume de um reator de mistura contínua (CSTR) necessário para obter a mesma conversão do item A.
C: calcular a conversão em um CSTR de mesmo volume que o reator tubular inicial (100\\ \mathrm{mL}).
Dados fornecidos (vou já padronizar unidades em L e mol/min, como é necessário):
CSTR (reator de mistura): \displaystyle V=\frac{F_{A0}X}{(-r_A)_{\text{saída}}}, onde (-r_A)_{\text{saída}} é a taxa avaliada nas concentrações de saída (que na CSTR são as do reator).
Explico por que essas fórmulas: no PFR integramos a variação de conversão ao longo do comprimento; no CSTR a mistura é homogênea, então vazão de A consumida por tempo (F_{A0}X) deve igualar o consumo volumétrico V(-r_A).
Passo 3
Resolvendo o item A (PFR, V=0{,}1\\ \mathrm{L}) passo a passo.
Interpretação rápida: para a mesma conversão obtida no PFR pequeno é necessário um CSTR bem maior — típico quando a reação é de ordem maior que 1 com alimentação equimolar.
Passo 5
Resolvendo o item C (qual a conversão em um CSTR com V=0{,}1\\ \mathrm{L}).
Usamos novamente a equação do CSTR, agora resolvendo para X:
V=\frac{F_{A0}X}{k\,C_{A0}^2(1-X)^2}.
Coloco todos os termos no mesmo lado e obtemos uma equação quadrática em X. Defino a=k\,C_{A0}^2 (já calculado a=0{,}05) e escrevo:
F_{A0}X = aV(1-X)^2.
Expandindo o lado direito:
F_{A0}X = aV(1-2X+X^2)=aV -2aV X + aV X^2.
Reorganizando em forma padrão \alpha X^2 + \beta X + \gamma =0:
aV X^2 + X(-2aV - F_{A0}) + aV =0.
Agora os números: aV=0{,}05\cdot 0{,}1=0{,}005 e F_{A0}=0{,}0005. Portanto
0{,}005 X^2 - (0{,}01+0{,}0005)X + 0{,}005 =0,
que é
0{,}005 X^2 - 0{,}0105 X + 0{,}005 =0.
Multiplico por 200 para números mais limpos:
X^2 - 2{,}1 X + 1 =0.
Uso a fórmula quadrática: \displaystyle X=\frac{2{,}1\pm\sqrt{(2{,}1)^2-4}}{2}=\frac{2{,}1\pm\sqrt{0{,}41}}{2}. \sqrt{0{,}41}\approx 0{,}640312. Assim as duas raízes são