Um reagente gasoso A puro com \mathrm{C}_{\mathrm{A}_{\mathrm{o}}}=0,1 \mathrm{M}, almenta um reator de mistura (\mathrm{V}=0,1 \mathrm{litro}) onde ocorre a segunte reação quimica.
2 \mathrm{~A}_{(x)} \rightarrow \mathrm{R}_{(x)}
Esta reação foi estudada através de 4 experimentos, sendo que em cada um deles for utilizada uma vazảo de almmentaçào diferente.
Na saida deste reator for obtida a concentraçào do reagente A conforme a tabela abaixo.
Experimento v, (Litro hora) \mathrm{C}_{\mathrm{A} 1} (mol Litro)
1 30,0 0,0857
2 9,0 0,0667
3 3,6 0,0500
4 1,5 0,0333
Com base nos resultados obtidos, determine a equaçåo de velocidade desta reação quimica

Passo 1

O enunciado pede que a gente determine a equação de velocidade da reação
2\mathrm{A}_{(x)} \rightarrow \mathrm{R}_{(x)}
usando os resultados experimentais de um reator de mistura contínua (CSTR) em regime estacionário. Dados importantes fornecidos:
\text{Concentração de alimentação: } C_{A0}=0,1\\ \mathrm{M}çãçã
\text{Volume do reator: } V=0,1\\ \mathrm{L}
Tabela de resultados (retirei os valores da tabela do enunciado):
\begin{array}{ccc} \text{Experimento} & v\\ (\mathrm{L\cdot h^{-1}}) & C_{A}\\ (\mathrm{mol\cdot L^{-1}}) \\\\ 1 & 30,0 & 0,0857 \\\\ 2 & 9,0 & 0,0667 \\\\ 3 & 3,6 & 0,0500 \\\\ 4 & 1,5 & 0,0333 \end{array}
Pergunta explícita: determinar a equação de velocidade (ou seja, a forma r_A = -k\,C_A^n com os valores numéricos de k e de n) compatível com esses dados.

Passo 2

Escrevendo o balanço molar em regime estacionário para um CSTR (isso é padrão para esse tipo de problema):
\text{entrada} - \text{saída} + \text{geração} = 0.íçã
Para a espécie A isso dá, usando vazão volumétrica v (entrada = saída em L/h):
v C_{A0} - v C_{A} + V r_A = 0.
Aqui r_A é a velocidade volumétrica de reação (unidade \mathrm{mol\cdot L^{-1}\cdot h^{-1}}), negativa porque A é consumida. Reescrevendo:
v (C_{A0} - C_A) = - V r_A.
Se assumirmos a forma da lei de velocidade que queremos encontrar:
r_A = - k\, C_A^n,
então substituindo obtemos a relação que conecta os dados experimentais com k e n:
v (C_{A0} - C_A) = V k\, C_A^n.

Passo 3

Isolando k obtemos (útil para comparar experimentos):
k = \frac{v (C_{A0} - C_A)}{V\, C_A^n}.
Esta expressão mostra que, se a hipótese r_A=-kC_A^n for válida com um único n e k constantes, então os quatro experimentos devem satisfazer essa equação com o mesmo k. Para estimar n é conveniente linearizar tomando logaritmo dos dois lados.
Tomando log natural em ambos os lados de
v (C_{A0} - C_A) = V k\, C_A^n
obtemos
\ln\!\bigl(v(C_{A0}-C_A)\bigr) - \ln V = \ln k + n \ln C_A.
Reescrevendo:
\ln\!\left(\frac{v(C_{A0}-C_A)}{V}\right) = \ln k + n \ln C_A.
Isto tem a forma linear
Y = a + n X,
com Y=\ln\!\bigl(\frac{v(C_{A0}-C_A)}{V}\bigr), X=\ln C_A e a=\ln k. Assim podemos estimar n como a inclinação de uma reta ajustada a quatro pontos (X_i,Y_i).

Passo 4

Calculemos os valores numéricos necessários. Primeiro definimos a quantidade
S \equiv \frac{v(C_{A0}-C_A)}{V}.
Como V=0,1\\ \mathrm{L}, isso equivale a S = 10\,v(C_{A0}-C_A). Vou calcular S, X=\ln C_A e Y=\ln S para cada experimento (mostrando os cálculos principais).
Experimento 1:
C_{A1}=0,0857,\quad C_{A0}-C_{A1}=0,0143,
S_1 = 10\cdot 30{,}0 \cdot 0{,}0143 = 4{,}29,
X_1=\ln(0{,}0857) \approx -2{,}456735,\quad Y_1=\ln(4{,}29)\approx 1{,}455.
Experimento 2:
C_{A2}=0,0667,\quad C_{A0}-C_{A2}=0,0333,
S_2 = 10\cdot 9{,}0 \cdot 0{,}0333 = 2{,}997,
X_2=\ln(0{,}0667)\approx -2{,}708050,\quad Y_2=\ln(2{,}997)\approx 1{,}098.
Experimento 3:
C_{A3}=0,0500,\quad C_{A0}-C_{A3}=0,0500,
S_3 = 10\cdot 3{,}6 \cdot 0{,}0500 = 1{,}8,
X_3=\ln(0{,}0500)\approx -2{,}995732,\quad Y_3=\ln(1{,}8)\approx 0{,}587786.
Experimento 4:
C_{A4}=0,0333,\quad C_{A0}-C_{A4}=0,0667,
S_4 = 10\cdot 1{,}5 \cdot 0{,}0667 \approx 1{,}0005,
X_4=\ln(0{,}0333)\approx -3{,}401197,\quad Y_4=\ln(1{,}0005)\approx 0{,}00050.
(Para facilitar a conta mental mostrei aproximações razoáveis; as diferenças de arredondamento são pequenas.)

Passo 5

Ajuste linear por mínimos quadrados para Y = a + n X. Vou usar as fórmulas clássicas (para N=4 pontos):
n = \frac{N\sum X_i Y_i - \sum X_i \sum Y_i}{N\sum X_i^2 - (\sum X_i)^2},
a = \overline{Y} - n\,\overline{X},\quad \text{com } \overline{X}=\frac{1}{N}\sum X_i,\\ \overline{Y}=\frac{1}{N}\sum Y_i.
Calculando somas (usando os valores de X_i e Y_i obtidos):
\sum X_i \approx -11{,}561714,\quad \sum Y_i \approx 3{,}140386,
\sum X_i Y_i \approx -8{,}30980,\quad \sum X_i^2 \approx 33{,}9137.
Substituindo:
n \approx \frac{4(-8{,}30980) - (-11{,}561714)(3{,}140386)}{4(33{,}9137) - (-11{,}561714)^2}\approx 1{,}55.
Em seguida
\overline{X} \approx -2{,}890429,\quad \overline{Y}\approx 0{,}7850965,
a = \ln k \approx 0{,}7850965 - 1{,}55\cdot(-2{,}890429) \approx 5{,}26526,
portanto
k = e^{a} \approx e^{5{,}26526} \approx 193{,}8.

Passo 6

Interpretação e checagem rápida: com n\approx 1{,}55 e k\approx 193{,}8 (unidades indicadas abaixo) podemos verificar que valores de k obtidos por cada experimento individual usando
k_i = \frac{v_i(C_{A0}-C_{Ai})}{V\, C_{Ai}^n}
ficam próximos entre si (cerca de 1,9\times 10^{2}), o que confirma a coerência do ajuste.
Unidades de k: como r_A tem unidade \mathrm{mol\cdot L^{-1}\cdot h^{-1}} e C_A tem \mathrm{mol\cdot L^{-1}}, a unidade de k é
\mathrm{L}^{\,n-1}\,\mathrm{mol}^{\,1-n}\,\mathrm{h}^{-1}.
Para n=1{,}55 isso dá aproximadamente \mathrm{L}^{0,55}\,\mathrm{mol}^{-0,55}\,\mathrm{h}^{-1}.

Resposta

r_A = -\,k\,C_A^{\,1,55},\quad k = 193{,}8\\ \mathrm{L}^{\,0,55}\,\mathrm{mol}^{-0,55}\,\mathrm{h}^{-1}

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