Um reagente gasoso A puro com \mathrm{C}_{\mathrm{A}_{\mathrm{o}}}=0,1 \mathrm{M}, almenta um reator de mistura (\mathrm{V}=0,1 \mathrm{litro}) onde ocorre a segunte reação quimica.
2 \mathrm{~A}_{(x)} \rightarrow \mathrm{R}_{(x)}
Esta reação foi estudada através de 4 experimentos, sendo que em cada um deles for utilizada uma vazảo de almmentaçào diferente.
Na saida deste reator for obtida a concentraçào do reagente A conforme a tabela abaixo.
Experimento
v, (Litro hora)
\mathrm{C}_{\mathrm{A} 1} (mol Litro)
1
30,0
0,0857
2
9,0
0,0667
3
3,6
0,0500
4
1,5
0,0333
Com base nos resultados obtidos, determine a equaçåo de velocidade desta reação quimica
Passo 1
O enunciado pede que a gente determine a equação de velocidade da reação
2\mathrm{A}_{(x)} \rightarrow \mathrm{R}_{(x)}
usando os resultados experimentais de um reator de mistura contínua (CSTR) em regime estacionário. Dados importantes fornecidos:
\text{Concentração de alimentação: } C_{A0}=0,1\\ \mathrm{M}
\text{Volume do reator: } V=0,1\\ \mathrm{L}
Tabela de resultados (retirei os valores da tabela do enunciado):
Pergunta explícita: determinar a equação de velocidade (ou seja, a forma r_A = -k\,C_A^n com os valores numéricos de k e de n) compatível com esses dados.
Passo 2
Escrevendo o balanço molar em regime estacionário para um CSTR (isso é padrão para esse tipo de problema):
Para a espécie A isso dá, usando vazão volumétrica v (entrada = saída em L/h):
v C_{A0} - v C_{A} + V r_A = 0.
Aqui r_A é a velocidade volumétrica de reação (unidade \mathrm{mol\cdot L^{-1}\cdot h^{-1}}), negativa porque A é consumida. Reescrevendo:
v (C_{A0} - C_A) = - V r_A.
Se assumirmos a forma da lei de velocidade que queremos encontrar:
r_A = - k\, C_A^n,
então substituindo obtemos a relação que conecta os dados experimentais com k e n:
v (C_{A0} - C_A) = V k\, C_A^n.
Passo 3
Isolando k obtemos (útil para comparar experimentos):
k = \frac{v (C_{A0} - C_A)}{V\, C_A^n}.
Esta expressão mostra que, se a hipótese r_A=-kC_A^n for válida com um único n e k constantes, então os quatro experimentos devem satisfazer essa equação com o mesmo k. Para estimar n é conveniente linearizar tomando logaritmo dos dois lados.
Tomando log natural em ambos os lados de
v (C_{A0} - C_A) = V k\, C_A^n
obtemos
\ln\!\bigl(v(C_{A0}-C_A)\bigr) - \ln V = \ln k + n \ln C_A.
Reescrevendo:
\ln\!\left(\frac{v(C_{A0}-C_A)}{V}\right) = \ln k + n \ln C_A.
Isto tem a forma linear
Y = a + n X,
com Y=\ln\!\bigl(\frac{v(C_{A0}-C_A)}{V}\bigr), X=\ln C_A e a=\ln k. Assim podemos estimar n como a inclinação de uma reta ajustada a quatro pontos (X_i,Y_i).
Passo 4
Calculemos os valores numéricos necessários. Primeiro definimos a quantidade
S \equiv \frac{v(C_{A0}-C_A)}{V}.
Como V=0,1\\ \mathrm{L}, isso equivale a S = 10\,v(C_{A0}-C_A). Vou calcular S, X=\ln C_A e Y=\ln S para cada experimento (mostrando os cálculos principais).
a = \ln k \approx 0{,}7850965 - 1{,}55\cdot(-2{,}890429) \approx 5{,}26526,
portanto
k = e^{a} \approx e^{5{,}26526} \approx 193{,}8.
Passo 6
Interpretação e checagem rápida: com n\approx 1{,}55 e k\approx 193{,}8 (unidades indicadas abaixo) podemos verificar que valores de k obtidos por cada experimento individual usando
k_i = \frac{v_i(C_{A0}-C_{Ai})}{V\, C_{Ai}^n}
ficam próximos entre si (cerca de 1,9\times 10^{2}), o que confirma a coerência do ajuste.
Unidades de k: como r_A tem unidade \mathrm{mol\cdot L^{-1}\cdot h^{-1}} e C_A tem \mathrm{mol\cdot L^{-1}}, a unidade de k é