A reação elementar de primeira ordem \mathrm{A} \rightarrow 2 \mathrm{R}+1 / 2 \mathrm{~S} ocorre em fase gasosa e será realizada em reatores contínuos com as seguintes condições de alimentação: 200^{\circ} \mathrm{C} e 12 atm e com uma vazão de alimentação de 10 \mathrm{~L} / min.
A Energia de Ativação da reação é 24.000 \mathrm{cal} / \mathrm{mol}.
A constante de velocidade da reação a 150^{\circ} \mathrm{C} é 0,00673(\mathrm{~min})^{-1}.
Para uma conversão desejada de 80 \%, calcule:
A - O volume de um reator de mistura a ser utilizado.
B - O volume de um reator tubular a ser utilizado.
C - Se a alimentação for constituída de 40 \% molar de inerte, e todas as demais condições forem mantidas constantes (pressão, temperatura e vazão de alimentação), qual será a conversão a ser obtida no reator de mistura calculado acima (item A)?

Passo 1

O enunciado pede que, para a reação elementar de primeira ordem \mathrm{A}\rightarrow 2\mathrm{R}+\tfrac{1}{2}\mathrm{S} em fase gasosa, com alimentação a 200^\circ\mathrm{C}, 12\\ \mathrm{atm} e vazão volumétrica 10\\ \mathrm{L/min}, calculemos:
  • (A) o volume do reator de mistura contínuo (CSTR) para conversão desejada \,X=80\%,
  • (B) o volume do reator tubular (PFR) para a mesma conversão,
  • (C) mantendo pressão, temperatura e vazão constantes, se a alimentação tiver 40\% molar de inerte, qual será a conversão obtida no CSTR calculado em (A).
Dados fornecidos:
  • Energia de ativação \;E_a=24.000\\ \mathrm{cal/mol}.
  • Constante de velocidade a 150^\circ\mathrm{C}: \;k_1=0,00673\\ \mathrm{min}^{-1}.
  • Temperaturas: T_1=150^\circ\mathrm{C}=423{,}15\\ \mathrm{K} e T_2=200^\circ\mathrm{C}=473{,}15\\ \mathrm{K}.
  • Pressão total \;P=12\\ \mathrm{atm}.
  • Vazão volumétrica (alimentação) \;v_0=10\\ \mathrm{L/min}.
  • Reação elementar de primeira ordem em A (isto é, r_A = -k C_A).
  • Conversão desejada inicial \;X=0{,}80.
Observação: todas as constantes e equações serão tratadas assumindo gás ideal e operação isotérmica/isobárica.

Passo 2

Calcular a constante de velocidade \;k à temperatura de operação T_2=473{,}15\\ \mathrm{K} usando a equação de Arrhenius na forma logarítmica:
\ln\!\left(\frac{k_2}{k_1}\right) = -\frac{E_a}{R}\left(\frac{1}{T_2}-\frac{1}{T_1}\right).
Aqui:
  • \;k_1=0{,}00673\\ \mathrm{min}^{-1} (dado a T_1),
  • \;E_a=24.000\\ \mathrm{cal/mol},
  • \;R=1{,}987\\ \mathrm{cal/(mol\cdot K)},
  • \;T_1=423{,}15\\ \mathrm{K},\;T_2=473{,}15\\ \mathrm{K}.
Calculando o termo no parêntese:
\frac{1}{T_2}-\frac{1}{T_1}=\frac{1}{473{,}15}-\frac{1}{423{,}15}\approx -0{,}00024991\\ \mathrm{K^{-1}}.
Agora:
\ln\!\left(\frac{k_2}{0{,}00673}\right) = -\frac{24.000}{1{,}987}\cdot(-0{,}00024991)\approx 3{,}020.
Portanto
k_2 = 0{,}00673\cdot e^{3{,}020}\approx 0{,}00673\cdot 20{,}49 \approx 0{,}1379\\ \mathrm{min}^{-1}.
Arredondando: \;k\approx 0{,}138\\ \mathrm{min}^{-1}.

Passo 3

Determinar a concentração total de mols por volume (concentração total do gás) à condição de operação, usando gás ideal:
C_T=\frac{P}{R_g T},
onde aqui usamos R_g=0{,}082057\\ \mathrm{L\cdot atm/(mol\cdot K)}, P=12\\ \mathrm{atm} e T=473{,}15\\ \mathrm{K}.
C_T=\frac{12}{0{,}082057\cdot 473{,}15}\approx \frac{12}{38{,}802}\approx 0{,}3094\\ \mathrm{mol/L}.
Se a alimentação for pura em A (sem inertes), a concentração inicial de A é C_{A0}=C_T\approx 0{,}3094\\ \mathrm{mol/L}.
A vazão molar de A na alimentação é
F_{A0}=v_0 C_{A0}=10\\ \mathrm{L/min}\times 0{,}3094\\ \mathrm{mol/L}\approx 3{,}094\\ \mathrm{mol/min}.

Passo 4

Derivar a equação de projeto para o CSTR levando em conta a variação do número de mols (troca de volume molar) causada pela reação.
Balance molar em regime estacionário para o componente A em um CSTR:
F_{A0}-F_A + r_A V=0.
Definindo conversão \;X=\dfrac{F_{A0}-F_A}{F_{A0}}\Rightarrow F_A=F_{A0}(1-X).
Como a reação produz variação no número de mols totais, devemos relacionar a concentração de saída C_A com X. Para cada mol de A reagido gera-se 2{,}5 mols de produtos, então a variação de mol total por mol reagido é \Delta\nu = +1{,}5. Assim, o fluxo molar total no escoamento é
F_T = F_{A0}\bigl(1+1{,}5X\bigr)\quad\text{(quando a alimentação é pura em A).}çãé
A concentração de A no reator é
C_A=\frac{F_A}{v}=\frac{F_{A0}(1-X)}{F_T/C_T} = C_T\frac{1-X}{1+1{,}5X}.
Como r_A=-k C_A, do balanço do CSTR obtemos:
F_{A0}X = (-r_A)V = k C_A V = k C_T \frac{1-X}{1+1{,}5X}\,V.
Isolando V:
V = \frac{F_{A0}X\,(1+1{,}5X)}{k C_T (1-X)}.
Substituindo F_{A0}=v_0 C_T, obtemos a forma prática (as C_T se cancelam):
\boxed{V_{\text{CSTR}} = \frac{v_0\,X\,(1+1{,}5X)}{k(1-X)}.}
Agora aplicamos numéricos com v_0=10\\ \mathrm{L/min}, k=0{,}1379\\ \mathrm{min}^{-1} e X=0{,}80:
Calcular o fator:
X(1+1{,}5X)=0{,}8\bigl(1+1{,}5\cdot 0{,}8\bigr)=0{,}8(1+1{,}2)=0{,}8\cdot 2{,}2=1{,}76.
E k(1-X)=0{,}1379\cdot 0{,}2=0{,}02758.
Portanto
V_{\text{CSTR}}=\frac{10\cdot 1{,}76}{0{,}02758}\approx \frac{17{,}6}{0{,}02758}\approx 638{,}0\\ \mathrm{L}.

Passo 5

Derivar e calcular o volume do PFR (reator tubular) considerando variação de volume molar.
Equação de projeto do PFR em termos de conversão:
\frac{dX}{dV} = -\frac{r_A}{F_{A0}} = \frac{k C_A}{F_{A0}}.
Usando C_A=C_T\frac{1-X}{1+1{,}5X} e F_{A0}=v_0 C_T, temos
\frac{dX}{dV} = \frac{k}{v_0}\cdot\frac{1-X}{1+1{,}5X}.
Isolando e integrando de X=0 até X:
V = \frac{v_0}{k}\int_{0}^{X}\frac{1+1{,}5X}{1-X}\,dX.
Fazer a integral. Observando que
\frac{1+1{,}5X}{1-X} = -1{,}5 + \frac{2{,}5}{1-X},
logo
\int\frac{1+1{,}5X}{1-X}\,dX = \int\left(-1{,}5 + \frac{2{,}5}{1-X}\right)dX = -1{,}5X -2{,}5\ln(1-X).
Portanto a expressão fechada é
\boxed{V_{\text{PFR}}=\frac{v_0}{k}\Bigl[-1{,}5X -2{,}5\ln(1-X)\Bigr].}
Agora com v_0=10\\ \mathrm{L/min}, k=0{,}1379\\ \mathrm{min}^{-1} e X=0{,}80:
Calcule os termos:
-1{,}5X = -1{,}5\cdot 0{,}8 = -1{,}2,
-2{,}5\ln(1-X) = -2{,}5\ln(0{,}2) = -2{,}5\cdot(-1{,}6094379)\approx 4{,}02359.
Somando: -1{,}2 + 4{,}02359 = 2{,}82359.
E \;v_0/k = 10/0{,}1379\approx 72{,}45.
Logo
V_{\text{PFR}} \approx 72{,}45\cdot 2{,}82359 \approx 204{,}6\\ \mathrm{L}.

Passo 6

Responder (C): alimentação com 40\% molar de inerte (logo fração molar inicial de A é y_{A0}=0{,}60). Queremos a conversão X' obtida no mesmo CSTR de volume calculado no item (A), ou seja V=638{,}0\\ \mathrm{L}.
Primeiro derivamos a fórmula geral do CSTR com inerte (fração molar inicial de A = y_{A0}). Repetindo a mesma análise mas considerando F_{A0}=y_{A0}F_{T0} e F_{I0}=y_{I0}F_{T0}, obtém-se (procedimento análogo ao do Passo 4) a expressão:
V = \frac{v_0\,X\bigl[1+1{,}5\,y_{A0}X\bigr]}{k(1-X)}.
Note que para y_{A0}=1 recupera-se a fórmula sem inerte.
Agora, com y_{A0}=0{,}60, v_0=10\\ \mathrm{L/min}, k=0{,}1379\\ \mathrm{min}^{-1} e V fixo igual a 638{,}0\\ \mathrm{L}, resolvemos para X:
638{,}0 = \frac{10\,X\bigl(1+1{,}5\cdot 0{,}60\;X\bigr)}{0{,}1379(1-X)}.
Simplificando conhecendo v_0/k = 72{,}45:
72{,}45\cdot \frac{X(1+0{,}9X)}{1-X}=638{,}0.
Reorganizando:
\frac{X(1+0{,}9X)}{1-X} = \frac{638{,}0}{72{,}45}\approx 8{,}807.
Multiplicando ambos os lados por (1-X) e desenvolvendo:
X + 0{,}9X^2 = 8{,}807 - 8{,}807X
0{,}9X^2 + (1 + 8{,}807)X -8{,}807 = 0
0{,}9X^2 + 9{,}807X -8{,}807 = 0.
Resolve-se a quadrática com a fórmula de Bhaskara. O discriminante é
\Delta = 9{,}807^2 - 4\cdot 0{,}9\cdot(-8{,}807)\approx 127{,}875.
\sqrt{\Delta}\approx 11{,}313.
As raízes são
X = \frac{-9{,}807 \pm 11{,}313}{2\cdot 0{,}9}.
A raiz fisicamente aceitável (entre 0 e 1) é
X' \approx \frac{-9{,}807 +11{,}313}{1{,}8} \approx \frac{1{,}506}{1{,}8}\approx 0{,}837.
Logo a conversão obtida no CSTR de volume calculado no item (A), com 40\% de inerte na alimentação, é aproximadamente X'\approx 0{,}837 (ou 83{,}7\%).
Comentário rápido e amigo: pode parecer contraintuitivo que a conversão aumente ao adicionar inerte mantendo o mesmo volume e vazão volumétrica — aqui o efeito vem do balanço entre a menor quantidade de reagente alimentada (menos A por minuto) e a forma como a variação de volume molar afeta a concentração e o tempo de residência efetivo. Por isso é essencial fazer a conta com a mudança de número de mols.

Resposta

A: 638{,}0\\ \mathrm{L}
B: 204{,}6\\ \mathrm{L}
C: X\approx 0{,}837 (ou 83{,}7\%)

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