Uma reação em fase líquida \mathrm{A} \rightarrow \mathrm{B} acontece em um tanque agitado de 10 L . O reator é alimentado por uma corrente com vazão de 0,150 \mathrm{~L} / \mathrm{s} contendo o reagente A à concentração de 10 \mathrm{~mol} / \mathrm{L}. A vazão de saída do líquido do reator é igual à da alimentação. O tanque pode ser considerado perfeitamente misturado, de modo que a concentração de A na corrente de produto é igual à sua concentração dentro do tanque. O tanque está inicialmente cheio com uma solução contendo 2 \mathrm{~mol} \mathrm{~A} / \mathrm{L} e então começam os fluxos de entrada e saída. A taxa da reação é dada pela equação r=0,005 C_{\mathrm{A}}(\mathrm{mol} \mathrm{A} / \mathrm{L} . \mathrm{s}).
a) Escreva um balanço da espécie A no tanque e forneça uma condição inicial.
b) Calcule a concentração no estado estacionário de A no tanque.
c) Esboce a forma esperada de um gráfico de C_{\mathrm{A}} em função do tempo.
d) Resolva a equação do balanço para C_{\mathrm{A}}(t) e verifique a solução dos itens (b) e (c).

Passo 1

O enunciado descreve um reator contínuo completamente misturado (CSTR) com volume V=10\\ \mathrm{L}, alimentado à vazão Q=0,150\\ \mathrm{L/s} com concentração de entrada C_{Af}=10\\ \mathrm{mol/L}. A reação em fase líquida é de primeira ordem em A, com taxa r=k\,C_{A} e k=0,005\\ \mathrm{s^{-1}}. Inicialmente o tanque está cheio com C_{A}(0)=2\\ \mathrm{mol/L}. Precisamos:
a) escrever o balanço de massa e condição inicial;
b) calcular C_{A} no estado estacionário;
c) esboçar qualitativamente C_{A}(t);
d) resolver analiticamente C_{A}(t).

Passo 2

Balanço de massa de A no CSTR (acumulação = entrada - saída - reação):
V\frac{dC_{A}}{dt} = Q C_{Af} - Q C_{A} - V k C_{A}.
Dividindo por V:
\frac{dC_{A}}{dt} = \frac{Q}{V}\bigl(C_{Af}-C_{A}\bigr) - k C_{A}.
Condição inicial
C_{A}(0) = 2\\ \mathrm{mol/L}.

Passo 3

Para o estado estacionário ( dC_{A}/dt=0) tem-se
0=\frac{Q}{V}\bigl(C_{Af}-C_{As}\bigr)-k\,C_{As} \;\Longrightarrow\; C_{As}\;=\;\frac{\tfrac{Q}{V}}{\tfrac{Q}{V}+k}\;C_{Af}.
Aqui \tfrac{Q}{V}=0,150/10=0,015\\ \mathrm{s^{-1}}, logo
C_{As}=\frac{0,015}{0,015+0,005}\times10=7,5\\ \mathrm{mol/L}.

Passo 4

O comportamento de C_{A}(t) é um aumento exponencial a partir de 2 até 7,5 mol/L, aproximando-se assintoticamente de 7,5. O gráfico é uma curva crescente de decaimento do erro (C_{A}-C_{As}).

Passo 5

A equação linear é
\frac{dC_{A}}{dt}+\Bigl(\frac{Q}{V}+k\Bigr)C_{A} =\frac{Q}{V}\,C_{Af}.
A solução geral com condição inicial C_{A}(0)=2 é
C_{A}(t) =C_{As}+\bigl(C_{A}(0)-C_{As}\bigr)\exp\!\Bigl[-\bigl(\tfrac{Q}{V}+k\bigr)t\Bigr].
Substituindo valores
C_{A}(t)=7,5-5,5\,e^{-0,02\,t}\quad(\mathrm{mol/L}).

Resposta

a) \displaystyle V\frac{dC_A}{dt}=Q\,C_{Af}-Q\,C_A-V\,k\,C_A, com C_A(0)=2\\ \mathrm{mol/L}.
b) C_{As}=7,5\\ \mathrm{mol/L}.
c) C_A(t) cresce exponencialmente de 2 até 7,5 mol/L, assintoticamente.
d) \displaystyle C_A(t)=7,5-5,5\,e^{-0,02\,t}.

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