Em uma reação catalisada por enzimas, com estequiometria \mathrm{A} \rightarrow \mathrm{B}, o consumo do composto A segue uma taxa dada pela equação de Michaelis-Menten:
r_{A}[\mathrm{~mol} / \mathrm{L} . \mathrm{s}]=\frac{k_{1} C_{A}}{1+k_{2} C_{A}}
em que C_{\mathrm{A}}(\mathrm{mol} / \mathrm{L}) é a concentração do reagente A e k_{1} e k_{2} dependem apenas da temperatura. A reação é conduzida em um reator isotérmico em batelada com volume constante V(\mathrm{~L}), começando com A puro à concentração C_{\mathrm{A} 0} \mathrm{em} t=0.
a) Escreva um balanço para A e integre para obter uma expressão para o tempo necessário para atingir uma concentração especificada C_{\mathrm{A}}.
b) Conhecem-se os seguintes dados de C_{\mathrm{A}} em função do tempo, obtidos em um reator de 2 L com C_{\mathrm{A} 0}=5 \mathrm{~mol} / \mathrm{L}. Com base na equação integrada do item (a), como você faria para obter os valores de k_{1} e k_{2} ? (Resposta: k_{1}=2,8 \times 10^{-3} \mathrm{~L} / \mathrm{mol}.s e k_{2}=0,115 \mathrm{~L} / \mathrm{mol} )
t(\mathrm{~s}) 60 120 180 240 480
C_{\mathrm{A}}(\mathrm{mol} / \mathrm{L}) 4,484 4,005 3,561 3,154 1,866

Passo 1

O enunciado trata de uma reação \mathrm{A}\to\mathrm{B} em reator isotérmico em batelada de volume constante V, com taxa de consumo de A dada pela Lei de Michaelis–Menten
r_{A} = \frac{k_{1}C_{A}}{1 + k_{2}C_{A}}.
Queremos (a) integrar o balanço molar de A para obter t(C_{A}) e (b) mostrar como, a partir dos dados (t_i,C_{A,i}), determinar k_{1} e k_{2}.

Passo 2

Escrevemos o balanço molar para A em batelada (não há aporte nem saída):
V\,\frac{dC_{A}}{dt} = -V\,r_{A} \quad\Longrightarrow\quad \frac{dC_{A}}{dt} = -\,\frac{k_{1}C_{A}}{1 + k_{2}C_{A}}.
Esse é um caso de separação de variáveis; vamos levar todos os termos em C_{A} para um lado e dt para o outro.

Passo 3

Separamos as variáveis:
dt = -\frac{1 + k_{2}C_{A}}{k_{1}C_{A}}\,dC_{A} = -\frac{1}{k_{1}}\Bigl(\frac{1}{C_{A}} + k_{2}\Bigr)\,dC_{A}.
Agora integramos de t=0 (quando C_{A}=C_{A0}) até tempo t (quando C_{A}=C_{A}):
\int_{0}^{t}dt = -\frac{1}{k_{1}} \int_{C_{A0}}^{C_{A}}\Bigl(\frac{1}{C_{A}} + k_{2}\Bigr)\,dC_{A}.

Passo 4

Calculando as integrais:
t = -\frac{1}{k_{1}}\Bigl[\ln C_{A} + k_{2}C_{A}\Bigr]_{C_{A0}}^{C_{A}} = \frac{1}{k_{1}}\Bigl[\ln\frac{C_{A0}}{C_{A}} + k_{2}\bigl(C_{A0}-C_{A}\bigr)\Bigr].
Portanto a expressão integrada é
\boxed{% t = \frac{1}{k_{1}}\ln\!\frac{C_{A0}}{C_{A}} \;+\;\frac{k_{2}}{k_{1}}\,(C_{A0}-C_{A})\,.% }

Passo 5

Para estimar k_{1} e k_{2} a partir de dados \{t_{i},C_{A,i}\}, reorganizamos a expressão como
t_{i} = \frac{1}{k_{1}}\ln\!\frac{C_{A0}}{C_{A,i}} \;+\;\frac{k_{2}}{k_{1}}\,(C_{A0}-C_{A,i}).
Defina
X_{1,i} = \ln\!\frac{C_{A0}}{C_{A,i}}, \quad X_{2,i} = C_{A0}-C_{A,i}, \quad Y_{i} = t_{i}.
Temos o modelo linear em X_{1,i} e X_{2,i}:
Y_{i} = a\,X_{1,i} + b\,X_{2,i},
onde a = 1/k_{1} e b = k_{2}/k_{1}. Então fazemos regressão linear múltipla de Y em (X_{1},X_{2}) para determinar a e b. Em seguida
k_{1} = \frac{1}{a}, \quad k_{2} = \frac{b}{a}.

Resposta

Segue a dedução da expressão de t(C_{A}) e o procedimento de ajuste linear para obter
k_{1}=2{,}8\times10^{-3}\,\mathrm{L/(mol\cdot s)}, \quad k_{2}=0{,}115\,\mathrm{L/mol}.

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