Em uma empresa, armazena-se água da chuva em reservatórios de 25 \mathrm{~m} \times 20 \mathrm{~m} \times 2 \mathrm{~m} para fins de reaproveitamento. O engenheiro responsável pela manutenção desse sistema contrata um estagiário, cuja primeira tarefa é estimar a quantidade de um algicida a ser comprado para aplicação em reservatórios que operam em capacidade plena. O estagiário obtém do chefe a informação de que, uma vez adicionado à água, o algicida degrada-se a uma taxa proporcional à sua concentração, isto é, r=k C, sendo k uma constante igual a 10^{-4} \mathrm{~h}^{-1}. Seu chefe informa-o também que o algicida deve ser adicionado continuamente aos reservatórios, cujo conteúdo é bem misturado, e que o teor especificado desse produto na água é de 10 \mathrm{ppm}(1 \mathrm{ppm}=1 \mathrm{mg} / \mathrm{dm}^{3} ), a fim de mantê-la livre de algas. Qual a quantidade de algicida a ser comprado em kg por mês por reservatório? (Resposta: 0,72 \mathrm{~kg} / mês por reservatório)

Passo 1

O enunciado trata de um reservatório de chuva com dimensões 25\;\mathrm{m}\times20\;\mathrm{m}\times2\;\mathrm{m}, onde o algicida sofre degradação de primeira ordem a uma taxa r=kC com k=10^{-4}\;\mathrm{h}^{-1}. Como o reservatório é bem misturado e o algicida é adicionado continuamente para manter a concentração constante em 10\;\mathrm{ppm} ( 1\;\mathrm{ppm}=1\;\mathrm{mg}/\mathrm{dm}^3), precisamos achar a vazão de adição que equilibra a perda por degradação e então calcular a massa total por mês.

Passo 2

Calcular o volume do reservatório em \mathrm{dm}^3:
V = 25\;\mathrm{m}\times20\;\mathrm{m}\times2\;\mathrm{m} =1000\;\mathrm{m}^3 =10^6\;\mathrm{dm}^3.

Passo 3

Escrevemos o balanço de massa do algicida:
\frac{dC}{dt}=\frac{Q}{V}-kC,
onde Q é a taxa de adição em \mathrm{mg}/\mathrm{h}. Em regime permanente ( dC/dt=0) tem-se
\frac{Q}{V}=kC \quad\Longrightarrow\quad Q=k\,C\,V.

Passo 4

Substituindo k=10^{-4}\;\mathrm{h}^{-1}, C=10\;\mathrm{mg}/\mathrm{dm}^3 e V=10^6\;\mathrm{dm}^3:
Q=10^{-4}\times10\times10^6=10^3\;\mathrm{mg}/\mathrm{h}=1\;\mathrm{g}/\mathrm{h}.

Passo 5

Número de horas em um mês de 30 dias:
t=30\times24=720\;\mathrm{h}.
Portanto, a massa mensal necessária é
M=Q\times t =1\;\mathrm{g/h}\times720\;\mathrm{h} =720\;\mathrm{g}.

Passo 6

Convertendo para quilogramas:
720\;\mathrm{g}=0,72\;\mathrm{kg}.

Resposta

0,72\;\mathrm{kg}/\text{mês por reservatório}êó

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