5 - A reação em fase líquida \mathrm{A} \rightarrow \mathrm{B} é conduzida em um reator que tem a seguinte DTR:
\begin{gathered} E(t)=0 \text { para } t<1 \min \\\ E(t)=1,0 \text { para } 1 \leq t \leq 2 \min \\\ E(t)=0 \text { para } t>2 \min \end{gathered}
A concentração inicial de A é 2 \mathrm{~mol} / \mathrm{dm}^{3}. A velocidade específica de reação a 300 K é 0,3 \mathrm{dm}^{6} / \mathrm{mol}^{2} / \mathrm{min}. Para operação isotérmica a 300 K , qual é a conversão prevista pelo modelo de mistura máxima.

Passo 1

O enunciado descreve a reação líquida de segunda ordem
\mathrm{A} \rightarrow \mathrm{B},\quad r = k\,C_A^2
com k=0,3\\ \mathrm{dm^6/(mol^2\cdot min)}\) e concentração inicial \(C_{A0}=2\\ \mathrm{mol/dm^3}\). A DTR é uniforme em \(1\le t\le2\) min, ou seja \[E(t)= \begin{cases} 0,&t<1,\\\\ 1,&1\le t\le2,\\\\ 0,&t>2. \end{cases}
Pelo modelo de mistura máxima (CSTR equivalente) usamos o tempo médio de residência (\tau] e a equação de balanço de massa para um reator completamente misturado.

Passo 2

Calcular o tempo médio de residência:
\tau = \int_{0}^{\infty} t\,E(t)\,dt = \int_{1}^{2} t\,dt = \left[\frac{t^2}{2}\right]_{1}^{2} = \frac{4-1}{2} =1,5\\ \text{min}.

Passo 3

Escrever o balanço em regime permanente para CSTR:
Q\,C_{A0} - Q\,C_A + V\,r = 0,
onde Q/V=1/\tau e r=k\,C_A^2. Divide por Q e usa V/Q=\tau:
C_{A0} - C_A + \tau\,k\,C_A^2 = 0 \;\Longrightarrow\; k\,\tau\,C_A^2 + C_A - C_{A0}=0.

Passo 4

Resolver a equação quadrática para C_A:
C_A = \frac{-1 + \sqrt{1 + 4\,k\,\tau\,C_{A0}}}{2\,k\,\tau}.
Substituindo k=0,3, \tau=1,5, C_{A0}=2:
4\,k\,\tau\,C_{A0} = 4\cdot0,3\cdot1,5\cdot2 = 3,6, \quad \sqrt{1+3,6}=\sqrt{4,6}\approx2,1448,
C_A = \frac{-1+2,1448}{2\cdot0,3\cdot1,5} = \frac{1,1448}{0,9} \approx1,272\\ \mathrm{mol/dm^3}.

Passo 5

A conversão é
X = 1 - \frac{C_A}{C_{A0}} = 1 - \frac{1,272}{2} = 1 - 0,636 =0,364.

Resposta

A conversão prevista pelo modelo de mistura máxima é aproximadamente 0,364 (36,4 %).

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