3 - Uma injeção de traçador realizada isotermicamente em um reator forneceu os seguintes resultados: as concentrações na saída aumentam linearmente de 0 a 0,5 \mu \mathrm{~mol} / \mathrm{dm}^{3} em 5 min , atingindo seu valor máximo, e então diminuem linearmente até 0 por 10 min . No sistema, ocorre uma reação com \mathrm{k} . \mathrm{C}_{\mathrm{A} 0}=1,2 \mathrm{~min}^{-1} a 325 K .
a) Elabore uma tabela com os valores de \mathrm{E}(\mathrm{t}) e \mathrm{F}(\mathrm{t}) para intervalos de 0,5 min e plote os gráficos de ambas as funções em relação ao tempo.
b) Qual é o tempo de residência médio? Se a vazão é de 150 \mathrm{gal} / \mathrm{min}, qual deve ser o volume total do reator?
c) Se o reator fosse de fluxo empistonado com a mesma vazão e volume do reator real, qual seria a conversão?
d) Se o reator fosse um CSTR com a mesma vazão e volume do reator real, qual seria a conversão?
e) Se o fluxo fosse bem representado pelo modelo de segregação, qual seria a conversão?
f) Se o fluxo fosse bem representado pelo modelo de mistura máxima, qual seria a conversão?

Passo 1

O enunciado descreve a saída de um traçador cuja concentração C(t) cresce linearmente de 0 a 0,5, \mumol/d m^{3} em 5 min e decresce linearmente até 0 em mais 10 min. Além disso, há reação de primeira ordem com constante \;k=1,2,/min.
Conteúdo: distribuição de tempos de residência (RTD), funções E(t) e F(t), tempo médio de residência \tau, volume de reator e conversões para PFR, CSTR, modelos de segregação e de mistura máxima.

Passo 2

Definimos a curva de saída C(t)\) (triangular) assim: \[C(t)= \begin{cases} 0{,}1\,t, & 0\le t\le5,\\\\ 0{,}75-0{,}05\,t, & 5\le t\le15,\\\\ 0, &\text{caso contrário.} \end{cases}
A área total sob (C(t)] é
\int_{0}^{15}C(t)\,dt =\tfrac12\cdot15\cdot0{,}5=3{,}75\quad(\mu\mathrm{mol\,min/dm^3}).
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E(t)=\frac{C(t)}{3{,}75},\qquad F(t)=\int_{0}^{t}E(t')\,dt'.

Passo 3

Obtemos as fórmulas de E(t) e de F(t) em cada ramo:
Para 0\le t\le5:
E(t)=\frac{0{,}1\,t}{3{,}75}=0{,}026667\,t, \quad F(t)=\int_{0}^{t}0{,}026667\,t'\,dt' =0{,}013333\,t^{2}.
Para 5\le t\le15:
E(t)=\frac{0{,}75-0{,}05\,t}{3{,}75} =0{,}2-0{,}013333\,t,
e
F(t)=F(5)+\int_{5}^{t}\bigl(0{,}2-0{,}013333\,t'\bigr)\,dt' =0{,}013333\cdot5^{2} +\bigl[\,0{,}2\,t'-0{,}0066667\,t'^{2}\bigr]_{5}^{t}.

Passo 4

Agora montamos a tabela em incrementos de 0{,}5 min. Seguem alguns pontos de exemplo (o restante segue o mesmo cálculo):
\begin{array}{c|c|c|c} t\\ (\min)&C(t)\\ (\mu\mathrm{mol/dm^3})&E(t)\\ (\min^{-1})&F(t)\\hline 0&0&0&0\\\\ 0{,}5&0{,}05&0{,}01333&0{,}003333\\\\ 1&0{,}1&0{,}026667&0{,}013333\\\\ 2&0{,}2&0{,}053333&0{,}053333\\\\ 5&0{,}5&0{,}13333&0{,}33333\\\\ 7,5&0{,}375&0{,}1&0{,}53333\\\\ 10&0{,}25&0{,}066667&0{,}66667\\\\ 12,5&0{,}125&0{,}033333&0{,}8\\\\ 15&0&0&1 \end{array}
Nos gráficos, E(t) forma um “sobe-desce” linear (triangular normalizado) e F(t) cresce suavemente de 0 a 1.

Passo 5

O tempo médio de residência é
\tau=\int_{0}^{\infty}t\,E(t)\,dt =\frac{1}{3{,}75}\int_{0}^{15}t\,C(t)\,dt \approx4{,}815\\ \min.

Passo 6

Com vazão Q=150,gal/min \approx150\times3{,}785=567{,}75,d m^{3}/min, o volume do reator é
V=\tau\,Q \approx4{,}815\times567{,}75 \approx2735\\ \mathrm{dm^3}.

Passo 7

Para PFR (fluxo empistonado) a conversão é
X_{\rm PFR} =1-\exp(-k\,\tau) =1-\exp(-1{,}2\times4{,}815) \approx0{,}9969\quad(99{,}69\%).

Passo 8

Para CSTR (perfeita mistura)
X_{\rm CSTR} =\frac{k\,\tau}{1+k\,\tau} =\frac{1{,}2\times4{,}815}{1+1{,}2\times4{,}815} \approx0{,}8522\quad(85{,}22\%).

Passo 9

No modelo de segregação (cada elemento reage isoladamente e depois mistura)
X_{\rm seg} =1-\int_{0}^{\infty}E(t)\,e^{-k\,t}\,dt \approx1-0{,}01845 =0{,}9816\quad(98{,}16\%).

Passo 10

No modelo de mistura máxima (todos os elementos “veem” o mesmo tempo médio \tau, isto é, PFR em \tau)
X_{\rm mix\,max} =1-\exp(-k\,\tau) = X_{\rm PFR} \approx0{,}9969\quad(99{,}69\%).

Resposta

a) Tabela e gráficos de E(t) e F(t) conforme passo 4.
b) \tau\approx4{,}815,min; V\approx2735,d m^{3}.
c) X_{\rm PFR}\approx99{,}69\%.
d) X_{\rm CSTR}\approx85{,}22\%.
e) X_{\rm seg}\approx98{,}16\%.
f) X_{\rm mix\,max}\approx99{,}69\%.

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