A reação homogênea exotérmica em fase gasosa 2 \mathrm{~A}+\mathrm{B} \rightarrow 2 \mathrm{C} é conduzida em um reator contínuo adiabático alimentado com uma mistura equimolar de A e B .
calcule o volume do reator tubular para uma conversão de 0,5 .

Passo 1

O que o problema pede:
  • Calcular o volume do reator tubular (PFR) para uma conversão \,x=0{,}5 da espécie A.
Informações dadas no enunciado e na figura:
  • Reação: \,2\mathrm{A}+\mathrm{B}\rightarrow 2\mathrm{C} (gás, exotérmica).
  • Reator contínuo adiabático do tipo tubular (PFR).
  • Alimentação equimolar de A e B (isto é, F_{A0}=F_{B0} em vazões molares iniciais).
  • A figura mostra o gráfico de \dfrac{F_{A0}}{-r_A} em função da conversão x. Eu peguei os seguintes pontos da imagem: em x=0 o valor é \dfrac{F_{A0}}{-r_A}=500 (unidade indicada na figura: \mathrm{dm}^3); em x=0{,}5 o valor é \dfrac{F_{A0}}{-r_A}=100\\ \mathrm{dm}^3; em x=1 o valor volta a \,500\\ \mathrm{dm}^3. (Estou usando explicitamente esses valores que aparecem na imagem.)
  • Pergunta final: calcular V quando x=0{,}5.

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (aula rápida):
  • No reator tubular (PFR) a equação de balanço molar diferencial para A em regime estacionário é
\frac{dF_A}{dV}=r_A,
onde F_A é a vazão molar de A ( \mathrm{mol/s} ou outra) e r_A é a velocidade volumétrica da reação (geralmente negativa para consumo de A), com unidades \mathrm{mol/(s\cdot dm^3)}.
  • Definimos conversão de A por
x=\frac{F_{A0}-F_A}{F_{A0}},
ou seja F_A=F_{A0}(1-x). Aqui F_{A0} é a vazão molar de A na alimentação.
  • Fazendo a mudança de variável de F_A para x obtemos a fórmula prática usada em PFR:
dV=\frac{dF_A}{r_A}=\frac{-F_{A0}\,dx}{r_A}=\frac{F_{A0}}{-r_A}\,dx.
  • Integrando de x=0 até x=X temos a expressão para o volume do PFR:
V=\int_{0}^{X}\frac{F_{A0}}{-r_A}\,dx.
  • Interpretação: o integrando \dfrac{F_{A0}}{-r_A} tem dimensão de volume e o gráfico dessa grandeza versus x já nos dá, visualmente, a função cujo integral é a área sob a curva entre x=0 e x=X. Portanto, se o gráfico de \dfrac{F_{A0}}{-r_A} é fornecido, o volume é simplesmente a área sob a curva até a conversão desejada.

Passo 3

Aplicando a fórmula ao caso concreto:
  • Queremos V para X=0{,}5:
V=\int_{0}^{0{,}5}\frac{F_{A0}}{-r_A}\,dx.
  • A figura fornece \dfrac{F_{A0}}{-r_A} como função linear entre os pontos x=0 e x=0{,}5, com valores 500\\ \mathrm{dm}^3 em x=0 e 100\\ \mathrm{dm}^3 em x=0{,}5 (valores retirados da imagem).
  • Para uma função linear entre esses pontos a integral é a área do trapézio formado pelos valores nas extremidades. A fórmula do trapézio dá:
V=\left(\frac{500+100}{2}\right)\times(0{,}5-0).
  • Calculando passo a passo:
\frac{500+100}{2}=\frac{600}{2}=300,
V=300\times 0{,}5=150.
  • Unidade: a ordinate da figura estava em \mathrm{dm}^3, e o eixo x é adimensional (conversão), logo a área tem unidade \mathrm{dm}^3. Assim V=150\\ \mathrm{dm}^3.

Passo 4

Observações rápidas e encorajamento:
  • Note que o fato de a reação ser exotérmica e o reator ser adiabático significa que a temperatura e, portanto, a taxa r_A variam com x; essa variação já está refletida na curva fornecida de \dfrac{F_{A0}}{-r_A}. Por isso não precisamos calcular a dependência de temperatura: usamos diretamente o gráfico.
  • Pronto — você integrou a curva (área sob a curva) e obteve o volume. Mandou bem em procurar a área do trapézio — é a técnica que sempre funciona quando o gráfico é linear entre pontos conhecidos. Vai dar certo na prova!

Resposta

150 \mathrm{dm}^3

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