A reação irreversível de primeira ordem em fase gasosa \mathrm{A} \rightarrow 3 \mathrm{~B} é conduzida primeiramente em um PFR, em que a alimentação é equimolar em A e inertes. A conversão sob essas circunstâncias é de 50 \%. A saída do PFR é alimentada a um CSTR de mesmo volume e conduzida sob condições idênticas (isto é, temperatura, pressão). Qual é a conversão de saída do CSTR?

Passo 1

O que o enunciado pede e os dados que temos\n
  • Pede: determinar a conversão de saída do CSTR quando a alimentação do CSTR é a saída de um PFR (mesmo volume para os dois reatores) e a alimentação original ao PFR era equimolar em A e inertes. A conversão na saída do PFR é 50\%.\n
  • Dados fornecidos (tirados do enunciado):
    • Reação irreversible de primeira ordem em fase gasosa: A \to 3B.
    • Alimentação ao PFR é equimolar em A e inertes (ou seja, razões molares iniciais F_{A0}=F_{I0}).
    • Conversão na saída do PFR: X_1=0{,}50.
    • O escoamento é gasoso a temperatura e pressão constantes (portanto, obedecendo o comportamento do gás ideal e a relação entre fluxo volumétrico e número de mols).
    • O PFR e o CSTR têm o mesmo volume V e trabalham à mesma T e P.
  • O objetivo operacional: encontrar a conversão no CSTR, que chamarei de X_2, sabendo que a alimentação do CSTR tem composição igual à saída do PFR.

Passo 2

Vamos entender os efeitos da estequiometria na variação do fluxo molar total e definir parâmetros úteis\n
  • Para a reação A \to 3B a mudança no número de mols totais por mol de A reagido é
\Delta\nu = \nu_{\text{produtos}}-\nu_{\text{reagentes}}=3-1=2.
Isso significa que, quando A reage, o número total de mols no fluido aumenta.\n
  • Se a fração molar inicial de A na alimentação ao PFR é y_{A0}, a variação relativa do fluxo volumétrico com a conversão X pode ser escrita como
v = v_0(1+\varepsilon X),
onde \varepsilon é o fator de expansão de fluxo definido por
\varepsilon=\Delta\nu\,y_{A0}.
Explicação rápida: para gás ideal à mesma T,P, o fluxo volumétrico é proporcional ao fluxo molar total; a variação do total por mol de A reagido é \Delta\nu, e multiplicando por fração molar inicial de A obtém-se a variação relativa do fluxo total por unidade de conversão de A.\n
  • Como a alimentação ao PFR é equimolar em A e inertes, y_{A0}=\tfrac{1}{2}=0{,}5. Portanto
\varepsilon=\Delta\nu\;y_{A0}=2\cdot0{,}5=1.

Passo 3

Formulação do balanço e da taxa para PFR com variação de fluxo (derivação do tempo de residência em termos de X)\n
  • Taxa de reação (primeira ordem) em termos da concentração de A:
-r_A = k C_A,
onde k é a constante de velocidade e C_A é a concentração molar de A.\n
  • Para gás ideal à mesma T e P, a concentração total C_T\equiv P/RT é constante; assim C_A = C_T y_A, e a fração molar y_A em função de X (para uma corrente com fração inicial y_{A0} e fator \varepsilon) é
y_A = y_{A0}\,\frac{1-X}{1+\varepsilon X}.
  • Logo a taxa pode ser escrita como
-r_A = k C_T y_{A0}\,\frac{1-X}{1+\varepsilon X}.
  • Balanço do PFR em termos de conversão: para PFR vale
V=\int_{0}^{X_1}\frac{F_{A0}\,dX}{-r_A},
onde F_{A0} é o fluxo molar de A na alimentação ao PFR.\n
  • Substituindo -r_A e simplificando (usar v_0 fluxo volumétrico inicial e relação C_T=P/RT=F_{T0}/v_0, com F_{T0} fluxo molar total inicial), obtém-se (após cancelamentos que explico em seguida) a expressão simples em termos do tempo de residência inicial \tau_0=V/v_0:
\tau_0=\frac{V}{v_0}=\frac{1}{k}\Big[-\varepsilon X-(1+\varepsilon)\ln(1-X)\Big]_{0}^{X_1}.
Explicação do cancelamento: ao substituir C_T=F_{T0}/v_0 e usar F_{A0}/(F_{T0}y_{A0})=1, as constantes de fluxo e C_T cancelam, restando a expressão acima que depende só de k,\varepsilon e X_1.\n
  • Portanto para o PFR com \varepsilon=1 e X_1=0{,}5:
\tau_0=\frac{1}{k}\Big[-1\cdot 0{,}5-(1+1)\ln(1-0{,}5)\Big] =\frac{1}{k}\Big[-0{,}5-2\ln(0{,}5)\Big].
Calculemos numericamente (lembrando \ln(0{,}5)=-\ln 2\approx-0{,}693147):
-0{,}5-2\ln(0{,}5)=-0{,}5-2(-0{,}693147)= -0{,}5+1{,}386294=0{,}886294.
Assim
\tau_0=\frac{0{,}886294}{k}.

Passo 4

Determinar o tempo de residência no CSTR (já que o volume é o mesmo mas o fluxo volumétrico de entrada mudou) e escrever a equação de projeto do CSTR\n
  • O fluxo volumétrico de saída do PFR (que é a alimentação do CSTR) é
v_1 = v_0(1+\varepsilon X_1)=v_0(1+1\cdot 0{,}5)=1{,}5\,v_0.
  • O tempo de residência no CSTR é \tau_{\text{CSTR}}=V/v_1. Como V/v_0=\tau_0, temos
\tau_{\text{CSTR}}=\frac{\tau_0}{1+\varepsilon X_1}=\frac{0{,}886294/k}{1{,}5}=\frac{0{,}5908627}{k}.
(Arredondei mantido para precisão suficiente: 0{,}590863/k.)\n
  • Agora escrevemos a equação de projeto do CSTR. Para um CSTR estacionário em regime permanente vale
V=\frac{F_{A1}\,X_2}{-r_{A,\text{out}}},
onde F_{A1} é o fluxo molar de A que entra no CSTR (saída do PFR) e -r_{A,\text{out}} é a taxa medida com as concentrações de saída do CSTR. Convertendo para tempo de residência \tau_{\text{CSTR}}=V/v_1 e usando F_{A1}=y_{A1}F_{T1}=y_{A1}v_1 C_T e -r_{A,\text{out}}=k C_T y_{A,\text{out}}, obtemos (após cancelar C_T e v_1):
\tau_{\text{CSTR}}=\frac{1}{k}\cdot\frac{y_{A1}X_2}{y_{A,\text{out}}}.
  • A fração molar de A à saída do CSTR, em função da conversão interna X_2 (considerando que a corrente de entrada do CSTR tem y_{A1} e que a mudança molar por reação é \Delta\nu=2), é
y_{A,\text{out}}=y_{A1}\,\frac{1-X_2}{1+\varepsilon' X_2},
onde \varepsilon'=\Delta\nu\,y_{A1}. Substituindo na equação anterior cancela y_{A1} e obtemos a forma conveniente
\tau_{\text{CSTR}}=\frac{1}{k}\cdot\frac{X_2(1+\varepsilon' X_2)}{1-X_2}.

Passo 5

Calcular os parâmetros numéricos para o caso e resolver a equação para X_2\n
  • Primeiro calcular y_{A1} (fração molar de A na alimentação do CSTR), usando a fórmula geral
y_{A1}=y_{A0}\frac{1-X_1}{1+\varepsilon X_1}.
Com y_{A0}=0{,}5, \varepsilon=1 e X_1=0{,}5,
y_{A1}=0{,}5\cdot\frac{1-0{,}5}{1+0{,}5}=0{,}5\cdot\frac{0{,}5}{1{,}5}=\frac{1}{6}\approx0{,}1666667.
  • Logo \varepsilon'=\Delta\nu\,y_{A1}=2\cdot\frac{1}{6}=\frac{1}{3}\approx0{,}333333.\n
  • Substituímos \tau_{\text{CSTR}}=0{,}5908627/k e \varepsilon'=1/3 na equação
\tau_{\text{CSTR}}=\frac{1}{k}\cdot\frac{X_2(1+\tfrac{1}{3}X_2)}{1-X_2}.
Cancelando 1/k dos dois lados resulta a equação a ser resolvida numericamente:
0{,}5908627=\frac{X_2\left(1+\tfrac{1}{3}X_2\right)}{1-X_2}.
  • Multiplicando ambos os lados por (1-X_2) e arrumando os termos obtemos uma equação quadrática:
0{,}5908627(1-X_2)=X_2+\tfrac{1}{3}X_2^2.
0{,}5908627-0{,}5908627X_2 = X_2+\tfrac{1}{3}X_2^2.
Reorganizando:
\tfrac{1}{3}X_2^2 + (1+0{,}5908627)X_2 - 0{,}5908627 = 0.
\tfrac{1}{3}X_2^2 + 1{,}5908627 X_2 - 0{,}5908627 = 0.
Multiplicando por 3 para eliminar o denominador:
X_2^2 + 4{,}7725881 X_2 - 1{,}7725881 = 0.
  • Resolvendo pela fórmula quadrática
X_2=\frac{-4{,}7725881 \pm \sqrt{4{,}7725881^{2}-4\cdot 1\cdot(-1{,}7725881)}}{2}.
Calcule o discriminante (aprox):
\Delta \approx 4{,}7725881^{2}+7{,}0903524 \approx 29{,}8678,
\sqrt{\Delta}\approx 5{,}464.
A raiz fisicamente admissível (positiva entre 0 e 1) é
X_2=\frac{-4{,}7725881 + 5{,}464}{2}\approx\frac{0{,}69141}{2}\approx 0{,}345705.

Passo 6

Interpretação final e encorajamento\n
  • A conversão no CSTR resultante é aproximadamente X_2\approx0{,}346, ou seja cerca de 34{,}6\%. Note que a conversão no CSTR ficou menor que a do PFR inicial ( 50\%), o que é razoável: um PFR com o mesmo volume geralmente dá maior conversão para reações de ordem positiva em A (a diferença de fluxo molar total e a diluição por inertes e pela geração de produtos afetam o resultado).\n
  • Boa notícia: tudo o que precisamos para responder foi aplicar as equações de projeto (PFR e CSTR) levando em conta a variação do fluxo volumétrico por mudança no número de mols devido à reação — conceito essencial em reatores gasosos.

Resposta

X_2 \approx 34{,}6\%

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