2- O gás natural liquefeito (GNL) é principalmente metano. Um tanque de 10,0 \mathrm{~m}^{3} é construído para armazenar GNL a -164^{\circ} \mathrm{C} e 1 atm de pressão,em condições que a sua densidade seja 416 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}. O volume (em \mathrm{m}^{3} ) de um tanque de armazenamento capaz de mesma massa de GNL que um gás, a 27^{\circ} \mathrm{C} e pressão de 1,642 \mathrm{~atm}, será?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (vou listar tudo claramente, para não nos perder):
  • Volume do GNL (líquido) no tanque: V_{\ell}=10{,}0\\ \mathrm{m}^3.
  • Temperatura do líquido (condição de armazenamento): T_{\ell}=-164^\circ\mathrm{C}.
  • Pressão na condição do líquido: P_{\ell}=1{,}00\\ \mathrm{atm}.
  • Densidade do GNL (na condição de armazenamento): \rho_{\ell}=416\\ \mathrm{kg}\!/ \mathrm{m}^3.
  • Condição do gás que queremos obter (mesma massa de GNL, mas em fase gasosa): temperatura T_g=27^\circ\mathrm{C} e pressão P_g=1{,}642\\ \mathrm{atm}.
O que a questão pede:
  • Determinar o volume do tanque (em \mathrm{m}^3) capaz de conter a mesma massa de GNL quando este estiver na fase gasosa nas condições T_g e P_g.

Passo 2

Primeiro passo prático: calcular a massa total de GNL armazenada no tanque líquido. A massa é dada por densidade vezes volume:
m=\rho_{\ell} V_{\ell}.
Substituindo os valores fornecidos:
m = 416\\ \mathrm{kg}\!/ \mathrm{m}^3 \times 10{,}0\\ \mathrm{m}^3 = 4160\\ \mathrm{kg}.
Interpretação: o tanque liquidado contém 4160\\ \mathrm{kg} de metano (aproximadamente).

Passo 3

Como vamos passar para a fase gasosa e queremos o volume do gás a uma temperatura e pressão dadas, usamos a lei dos gases ideais. Vou explicar bem devagar o que é:
  • A lei dos gases ideais é
PV = n R T,
onde:
  • P é a pressão absoluta (em \mathrm{Pa} no SI),
  • V é o volume (em \mathrm{m}^3 no SI),
  • n é o número de mols (em \mathrm{mol}),
  • R é a constante universal dos gases ( R = 8{,}3145\\ \mathrm{J}\!/\!(\mathrm{mol}\cdot\mathrm{K})),
  • T é a temperatura absoluta (em \mathrm{K}).
  • Para usar essa fórmula precisamos do número de mols n. Calculamos n a partir da massa e da massa molar do metano:
n=\dfrac{m}{M},
onde M é a massa molar do metano. Para o metano ( \mathrm{CH}_4) usamos M=16{,}04\\ \mathrm{g}\!/\!\mathrm{mol}=0{,}01604\\ \mathrm{kg}\!/\!\mathrm{mol}.
  • Também precisamos usar temperaturas em kelvin e pressões em pascal. Vou fazer todas as conversões necessárias.
Observação sobre validade: o metano a 27^\circ\mathrm{C} e pressão em torno de 1{,}6\\ \mathrm{atm} é bem aproximado por gás ideal para propósitos de exercícios como este — pequena fonte de erro se comparado a não-idealidades reais, mas aceitável para prova.

Passo 4

Calcular o número de mols n:
n=\dfrac{m}{M}=\dfrac{4160\\ \mathrm{kg}}{0{,}01604\\ \mathrm{kg}\!/\!\mathrm{mol}}.
Fazendo a divisão:
n \approx 259\,651\\ \mathrm{mol}\quad(\text{aproximadamente }2{,}60\times10^{5}\\ \mathrm{mol}).

Passo 5

Converter temperatura e pressão para unidades do SI:
  • Temperatura do gás:
T_g = 27^\circ\mathrm{C} = 27 + 273{,}15 = 300{,}15\\ \mathrm{K}.
  • Pressão do gás (converter atm para pascal):
P_g = 1{,}642\\ \mathrm{atm} = 1{,}642\times101\,325\\ \mathrm{Pa} = 166\,375{,}65\\ \mathrm{Pa}.

Passo 6

Usar a lei dos gases ideais para encontrar o volume do gás V_g:
V_g = \dfrac{n R T_g}{P_g}.
Substituindo os valores (já com n em mol, R=8{,}3145\\ \mathrm{J}\!/\!(\mathrm{mol}\cdot\mathrm{K}), T_g em K e P_g em Pa):
V_g \approx \dfrac{259\,651\\ \mathrm{mol}\times 8{,}3145\\ \mathrm{J}\!/\!(\mathrm{mol}\cdot\mathrm{K})\times 300{,}15\\ \mathrm{K}}{166\,375{,}65\\ \mathrm{Pa}}.

Passo 7

Fazendo as contas em partes (mostrando o que estou calculando):
  • Primeiro calculei R T_g:
R T_g = 8{,}3145\times 300{,}15 \approx 2495{,}586\\ \mathrm{J/mol}.
  • Depois o numerador n R T_g:
n R T_g \approx 259\,651 \times 2495{,}586 \approx 1,0381\times10^{7}\\ \mathrm{J}.
(Lembre que 1\\ \mathrm{J} = 1\\ \mathrm{Pa}\cdot\mathrm{m}^3, então as unidades estão coerentes.)
  • Finalmente dividir pelo P_g:
V_g \approx \dfrac{1,0381\times10^{7}}{166\,375{,}65} \approx 3{,}889\times10^{3}\\ \mathrm{m}^3.

Passo 8

Interpretação rápida e checagem de ordem de grandeza: faz sentido que o volume do gás seja milhares de metros cúbicos, porque líquidos ocupam muito menos volume que o gasoso correspondente — aqui a razão é da ordem de 10^3, razoável para metano líquido vs metano gasoso em condições próximas de ambiente.

Resposta

3{,}89\times10^{3}\\ \mathrm{m}^3

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