A reação: \mathrm{A}+2 \mathrm{~B} \longrightarrow \mathrm{P}+\mathrm{Q} obedece a lei de velocidade \mathrm{v}=\mathrm{k}[\mathrm{A}][\mathrm{B}], em que \mathrm{k}=3,67 \times 10^{-3} \mathrm{~mol} \mathrm{~L}^{-1} \mathrm{~s}^{-1}. No início da reação, 0,255 \mathrm{~mol} de A é misturado com 0,605 mol de B em 1,7 L de solvente. Calcular os valores iniciais de \mathrm{d}[\mathrm{A}] / \mathrm{dt}, \mathrm{d}[\mathrm{B}] / \mathrm{dt}, \mathrm{d}[\mathrm{P}] / \mathrm{dt}, dnB/dt e a velocidade inicial de reação.

Passo 1

O enunciado dá a reação e a lei de velocidade e pede as taxas iniciais. Vou listar tudo que foi informado e o que precisa ser calculado (peguei os números do enunciado).
  • Reação: \mathrm{A}+2\mathrm{B}\longrightarrow\mathrm{P}+\mathrm{Q}.
  • Lei de velocidade: \;v=k[\mathrm{A}][\mathrm{B}], com \;k=3{,}67\times10^{-3}\\ \mathrm{mol\;L^{-1}\;s^{-1}}.
  • Quantidades iniciais misturadas em \;V=1{,}7\\ \mathrm{L}:
    • n_{\mathrm{A},0}=0{,}255\\ \mathrm{mol}.
    • n_{\mathrm{B},0}=0{,}605\\ \mathrm{mol}.
O que o enunciado pede (tudo no instante inicial):
  • \dfrac{d[\mathrm{A}]}{dt} (taxa de variação da concentração de A),
  • \dfrac{d[\mathrm{B}]}{dt},
  • \dfrac{d[\mathrm{P}]}{dt},
  • \dfrac{dn_{\mathrm{B}}}{dt} (variação dos mols de B por tempo),
  • a velocidade inicial da reação (valor de v no instante inicial).

Passo 2

Calcular as concentrações iniciais a partir dos mols e do volume. Lembra: concentração [X]=\dfrac{n_X}{V}.
  • Concentração inicial de A:
[\mathrm{A}]_0=\dfrac{n_{\mathrm{A},0}}{V}=\dfrac{0{,}255}{1{,}7}=0{,}150\\ \mathrm{mol\;L^{-1}}.
  • Concentração inicial de B:
[\mathrm{B}]_0=\dfrac{n_{\mathrm{B},0}}{V}=\dfrac{0{,}605}{1{,}7}=0{,}3558823529\\ \mathrm{mol\;L^{-1}}\approx0{,}356\\ \mathrm{mol\;L^{-1}}.
(Para manter precisão nas contas intermédias vou usar [\mathrm{B}]_0=0{,}3558823529\\ \mathrm{mol\;L^{-1}}, arredondarei os resultados finais com 3 algarismos significativos.)

Passo 3

Explicar a definição da velocidade e calcular a velocidade inicial. Aqui interpretamos v como uma velocidade de reação positiva dada por \;v=k[\mathrm{A}][\mathrm{B}]. Isso significa que, numericamente,
v_0=k\,[\mathrm{A}]_0\,[\mathrm{B}]_0.
Substituindo os valores iniciais:
v_0 = 3{,}67\times10^{-3}\times 0{,}150\times 0{,}3558823529.
Vamos multiplicar com cuidado (faça assim na prova para não se perder):
0{,}150\times0{,}3558823529=0{,}05338235294.
v_0=3{,}67\times10^{-3}\times0{,}05338235294=0{,}0001958955882\\ \mathrm{mol\;L^{-1}\;s^{-1}}.
Arredondando para 3 algarismos significativos:
v_0\approx1{,}96\times10^{-4}\\ \mathrm{mol\;L^{-1}\;s^{-1}}.
Pequena verificação de unidades: k tem unidades \mathrm{mol\;L^{-1}\;s^{-1}} e [\mathrm{A}][\mathrm{B}] tem unidades (\mathrm{mol\;L^{-1}})^2, então o produto tem unidade \mathrm{mol^3\;L^{-3}\;s^{-1}}. Contudo, a forma habitual é que k já esteja com as unidades corretas para que v resulte em \mathrm{mol\;L^{-1}\;s^{-1}}; portanto usamos o valor numérico fornecido diretamente e obtemos v_0 em \mathrm{mol\;L^{-1}\;s^{-1}} (essa checagem é mais sobre consistência; aqui usamos a constante tal como fornecida).

Passo 4

Relacionar a velocidade de reação com as taxas de variação de concentrações usando a estequiometria. Para a reação \mathrm{A}+2\mathrm{B}\longrightarrow\mathrm{P}+\mathrm{Q} e tomando v positivo:
\dfrac{d[\mathrm{A}]}{dt}=-v,\qquad \dfrac{d[\mathrm{B}]}{dt}=-2v,\qquad \dfrac{d[\mathrm{P}]}{dt}=+v,\qquad \dfrac{d[\mathrm{Q}]}{dt}=+v.
(Isto vem da definição geral \;v=-\dfrac{1}{\nu_i}\dfrac{d[C_i]}{dt}, onde \nu_i é o coeficiente estequiométrico na equação balanceada; aqui \nu_{\mathrm{A}}=1,\\ \nu_{\mathrm{B}}=2.)
Agora substituímos v_0 para obter as taxas iniciais:
  • Para A:
\dfrac{d[\mathrm{A}]}{dt}\Big|_{0}=-v_0=-1{,}96\times10^{-4}\\ \mathrm{mol\;L^{-1}\;s^{-1}}.
  • Para B:
\dfrac{d[\mathrm{B}]}{dt}\Big|_{0}=-2v_0=-2\times1{,}96\times10^{-4}=-3{,}92\times10^{-4}\\ \mathrm{mol\;L^{-1}\;s^{-1}}.
  • Para P:
\dfrac{d[\mathrm{P}]}{dt}\Big|_{0}=+v_0=+1{,}96\times10^{-4}\\ \mathrm{mol\;L^{-1}\;s^{-1}}.

Passo 5

Calcular \dfrac{dn_{\mathrm{B}}}{dt} (variação do número de mols de B por tempo). Relação entre número de mols e concentração: n_{\mathrm{B}}=V[\mathrm{B}]. Diferenciando:
\dfrac{dn_{\mathrm{B}}}{dt}=V\,\dfrac{d[\mathrm{B}]}{dt}.
Usando V=1{,}7\\ \mathrm{L} e \dfrac{d[\mathrm{B}]}{dt}\Big|_{0}=-3{,}92\times10^{-4}\\ \mathrm{mol\;L^{-1}\;s^{-1}}:
\dfrac{dn_{\mathrm{B}}}{dt}\Big|_{0}=1{,}7\times(-3{,}92\times10^{-4})=-6{,}66\times10^{-4}\\ \mathrm{mol\;s^{-1}}.
(Arredondei para 3 algarismos significativos: -6{,}66\times10^{-4}\\ \mathrm{mol\;s^{-1}}.)

Passo 6

Resumo rápido e cheque final: todas as taxas estão no instante inicial; sinais negativos indicam consumo (A e B), positivos indicação de formação §. As ordens de grandeza são consistentes entre concentração e número de mols (multiplicando por V passa-se de \mathrm{mol\;L^{-1}\;s^{-1}} para \mathrm{mol\;s^{-1}}).

Resposta

\dfrac{d[\mathrm{A}]}{dt}\Big|_{0}=-1{,}96\times10^{-4}\\ \mathrm{mol\;L^{-1}\;s^{-1}}
\dfrac{d[\mathrm{B}]}{dt}\Big|_{0}=-3{,}92\times10^{-4}\\ \mathrm{mol\;L^{-1}\;s^{-1}}
\dfrac{d[\mathrm{P}]}{dt}\Big|_{0}=+1{,}96\times10^{-4}\\ \mathrm{mol\;L^{-1}\;s^{-1}}
\dfrac{dn_{\mathrm{B}}}{dt}\Big|_{0}=-6{,}66\times10^{-4}\\ \mathrm{mol\;s^{-1}}
v_0=1{,}96\times10^{-4}\\ \mathrm{mol\;L^{-1}\;s^{-1}}

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