Uma solução de A é misturada com o mesmo volume de uma solução de B de mesma concentração e ocorre a reação elementar:
\mathrm{A}+\mathrm{B} \rightarrow \mathrm{C}
Ao fim de 1 \mathrm{~h}, 75 \% de A tinha reagido. Calcular a quantidade de A que permaneceu sem reagir ao final de 2 h de reação, e o tempo de meia-vida da espécie A , se a reação é de:
(c) Ordem zero em relação a A e B.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e faz estas perguntas:
  • Foi misturada uma solução de A com o mesmo volume de uma solução de B, ambas com a mesma concentração. Após a mistura, ocorre a reação estequiométrica \mathrm{A}+\mathrm{B}\to\mathrm{C} (razão 1:1).
  • Ao fim de 1\\ \mathrm{h}, 75\% de A tinha reagido. Isto significa que restaram 25\% de A em relação à quantidade inicial imediata ao início da reação (ou seja, em relação a [A]_0, que é a concentração de A imediatamente após a mistura).
  • Pede-se:
    1. A quantidade de A que permaneceu sem reagir ao final de 2\\ \mathrm{h} de reação.
    2. O tempo de meia-vida da espécie A.
  • Condição adicional: a reação é de ordem zero em relação a A e B (isto é, a taxa é constante, independente das concentrações).

Passo 2

Definir variáveis e a lei cinética para ordem zero:
  • Denotar por [A](t) a concentração de A no tempo t.
  • Denotar por [A]_0 a concentração de A no instante inicial t=0 (este instante é imediatamente após a mistura — qualquer diluição por mistura já está incorporada em [A]_0).
  • Para reação de ordem zero a taxa de consumo de A é constante e podemos escrever a lei diferencial:
-\dfrac{d[A]}{dt}=k,
onde k é a constante de velocidade (unidade: concentração por tempo, por exemplo \mathrm{mol\\ L^{-1}\\ h^{-1}}). Explicando: o sinal negativo aparece porque [A] diminui com o tempo; ordem zero significa que a velocidade não depende de [A] nem de [B].

Passo 3

Integrar a equação de ordem zero para obter a expressão de [A](t):
  • Integrando -d[A]/dt=k de t=0 a t e de [A]_0 a [A](t)
[A](t)=[A]_0 - k\,t.
  • Interpretação prática: em ordem zero a concentração decresce linearmente com o tempo, com inclinação -k.

Passo 4

Usar a informação experimental em t=1\\ \mathrm{h} para determinar k em função de [A]_0:
  • Ao fim de 1\\ \mathrm{h} foi consumido 75\% de A, então restou 25\%:
[A](1)=0{,}25\,[A]_0.
  • Substituindo na expressão integrada:
0{,}25\,[A]_0 = [A]_0 - k\cdot 1.
  • Isolando k:
k = [A]_0 - 0{,}25\,[A]_0 = 0{,}75\,[A]_0.
  • Comentário: k aqui tem unidade de concentração por hora; escrevemos k em função de [A]_0 porque o enunciado não fornece um valor numérico de concentração absoluta. Isso é suficiente para obter razões de concentrações e tempos.

Passo 5

Calcular [A](2), a concentração de A ao fim de 2\\ \mathrm{h}:
  • Usar [A](t)=[A]_0 - k t com k=0{,}75\,[A]_0 e t=2\\ \mathrm{h}:
[A](2) = [A]_0 - (0{,}75\,[A]_0)\cdot 2 = [A]_0 - 1{,}5\,[A]_0 = -0{,}5\,[A]_0.
  • Um resultado negativo para concentração não faz sentido físico; isso indica que A teria sido totalmente consumida antes de 2\\ \mathrm{h}. Determinar o tempo de esgotamento (quando [A](t)=0):
0 = [A]_0 - k\,t_{\text{esgot}} \quad\Rightarrow\quad t_{\text{esgot}}=\dfrac{[A]_0}{k}.
  • Substituir k=0{,}75\,[A]_0:
t_{\text{esgot}}=\dfrac{[A]_0}{0{,}75\,[A]_0}=\dfrac{1}{0{,}75}=\dfrac{4}{3}\\ \mathrm{h}\approx1{,}333\\ \mathrm{h}.
  • Conclusão: A é totalmente consumida em t=\tfrac{4}{3}\\ \mathrm{h}, ou seja antes de 2\\ \mathrm{h}. Logo, ao fim de 2\\ \mathrm{h} a quantidade de A que permaneceu sem reagir é zero.

Passo 6

Calcular o tempo de meia-vida t_{1/2} para reação de ordem zero:
  • Definição: meia-vida é o tempo necessário para que a concentração caia de [A]_0 para [A]_0/2.
  • Usar [A](t)=[A]_0 - k t e impor [A](t_{1/2})=[A]_0/2:
\dfrac{[A]_0}{2} = [A]_0 - k\,t_{1/2}.
  • Isolando t_{1/2}:
t_{1/2}=\dfrac{[A]_0}{2k}.
  • Substituir k=0{,}75\,[A]_0:
t_{1/2}=\dfrac{[A]_0}{2\cdot 0{,}75\,[A]_0}=\dfrac{1}{1{,}5}=\dfrac{2}{3}\\ \mathrm{h}.
  • Converter para minutos: \dfrac{2}{3}\\ \mathrm{h}=40\\ \mathrm{min}.
  • Observação: para ordem zero a meia-vida depende de [A]_0 em geral porque k pode ser dado em unidades absolutas; aqui, devido ao dado percentual, t_{1/2} saiu numérico e independente de um valor absoluto de [A]_0.

Resposta

Quantidade de A que permaneceu sem reagir ao fim de 2\\ \mathrm{h}: 0 (completamente consumida; esgotamento em t=\tfrac{4}{3}\\ \mathrm{h}).
Tempo de meia-vida de A: t_{1/2}=\dfrac{2}{3}\\ \mathrm{h}=40\\ \mathrm{min}.

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