A reação
é de primeira ordem com
Determine:
a) a meia-vida
b) o tempo necessário para consumir 90% do reagente.
Determine:
a) a meia-vida
b) o tempo necessário para consumir 90% do reagente.
Passo 1
O enunciado dá a reação
e informa que é de primeira ordem com constante de velocidade
Pede:
a) a meia-vida (tempo para consumir metade do reagente);
b) o tempo necessário para consumir do reagente (ou seja, restar
).
a) a meia-vida (tempo para consumir metade do reagente);
b) o tempo necessário para consumir
Passo 2
Conceito e equação integrada para reação de primeira ordem.
- Para uma reação de primeira ordem a lei diferencial é
onde
é a concentração do reagente no tempo
e
é a constante de velocidade (
). Vou resolver essa equação por separação de variáveis.
- Separe e integre:
Integrando de
(concentração inicial
) até tempo
(concentração
) obtemos
As integrais dão logaritmos:
Essa é a forma integrada útil. Reorganizando, também é comum escrever
Aqui:
-
= concentração inicial; -
= concentração no tempo ; -
= constante de velocidade ( ); -
= tempo (s).
Passo 3
Derivação da fórmula da meia-vida para primeira ordem.
- A meia-vida
é o tempo em que . Substituindo na forma integrada:
- Portanto
Observação didática:
é apenas o número que vem do logaritmo natural de
, aproximadamente
. Essa fórmula é característica de reações de primeira ordem: a meia-vida não depende de
.
Passo 4
Cálculo numérico da meia-vida usando
.
- Substituindo:
- Fazendo a divisão:
- Converter para unidades mais intuitivas (horas e minutos):
Passo 5
Tempo para consumir
do reagente (restar
).
- Se
foi consumido, a fração restante é . - Usando a forma integrada
substituímos
e resolvemos para
:
- Como
, uma forma prática é
Observação didática: para fração restante
vale
. No caso
temos
.
Passo 6
Cálculo numérico do tempo para
consumido.
- Substituindo:
- Fazendo a divisão:
- Converter para horas:
Convertendo a parte decimal para minutos:
minutos, ou seja aproximadamente
- Observação útil: a razão entre esse tempo e a meia-vida é
ou seja, levará cerca de
meias-vidas para atingir
de consumo em uma reação de primeira ordem.
Resposta
a)
(aprox.
).
b) (aprox.
).
b)