A reação
\mathrm{SO}_{2} \mathrm{Cl}_{2} \rightarrow \mathrm{SO}_{2}+\mathrm{Cl}_{2}
é de primeira ordem com k=2.2 \times 10^{-5} \mathrm{~s}^{-1}
Determine:
a) a meia-vida
b) o tempo necessário para consumir 90% do reagente.

Passo 1

O enunciado dá a reação
\mathrm{SO}_{2}\mathrm{Cl}_{2}\rightarrow\mathrm{SO}_{2}+\mathrm{Cl}_{2}
e informa que é de primeira ordem com constante de velocidade
k=2,2\times10^{-5}\,\mathrm{s}^{-1}.
Pede:
a) a meia-vida (tempo para consumir metade do reagente);
b) o tempo necessário para consumir 90\% do reagente (ou seja, restar 10\%).

Passo 2

Conceito e equação integrada para reação de primeira ordem.
  • Para uma reação de primeira ordem a lei diferencial é
\frac{d[A]}{dt}=-k[A],
onde [A] é a concentração do reagente no tempo t e k é a constante de velocidade ( \mathrm{s}^{-1}). Vou resolver essa equação por separação de variáveis.
  • Separe e integre:
\frac{d[A]}{[A]}=-k\,dt.
Integrando de t=0 (concentração inicial [A]_0) até tempo t (concentração [A]_t) obtemos
\int_{[A]_0}^{[A]_t}\frac{d[A]}{[A]}=-\int_{0}^{t}k\,dt.
As integrais dão logaritmos:
\ln\!\left(\frac{[A]_t}{[A]_0}\right)=-kt.
Essa é a forma integrada útil. Reorganizando, também é comum escrever
\ln\!\left(\frac{[A]_0}{[A]_t}\right)=kt.
Aqui:
  • [A]_0 = concentração inicial;
  • [A]_t = concentração no tempo t;
  • k = constante de velocidade ( \mathrm{s}^{-1});
  • t = tempo (s).

Passo 3

Derivação da fórmula da meia-vida para primeira ordem.
  • A meia-vida t_{1/2} é o tempo em que [A]_t=\tfrac{1}{2}[A]_0. Substituindo na forma integrada:
\ln\!\left(\frac{[A]_t}{[A]_0}\right)=\ln\!\left(\frac{1}{2}\right)=-kt_{1/2}.
  • Portanto
t_{1/2}=\frac{\ln 2}{k}.
Observação didática: \ln 2 é apenas o número que vem do logaritmo natural de 2, aproximadamente 0,693. Essa fórmula é característica de reações de primeira ordem: a meia-vida não depende de [A]_0.

Passo 4

Cálculo numérico da meia-vida usando k=2,2\times10^{-5}\,\mathrm{s}^{-1}.
  • Substituindo:
t_{1/2}=\frac{\ln 2}{k}=\frac{0,693147\ldots}{2,2\times10^{-5}\,\mathrm{s}^{-1}}.
  • Fazendo a divisão:
t_{1/2}\approx 3,1508\times10^{4}\,\mathrm{s}.
  • Converter para unidades mais intuitivas (horas e minutos):
3,1508\times10^{4}\,\mathrm{s}\div3600\approx8,75\,\mathrm{h}.
0,75 de hora corresponde a 0,75\times60\approx45 minutos. Então t_{1/2}\approx8\\ \mathrm{h}\\\ 45\\ \mathrm{min}.

Passo 5

Tempo para consumir 90\% do reagente (restar 10\%).
  • Se 90\% foi consumido, a fração restante é \dfrac{[A]_t}{[A]_0}=0,10.
  • Usando a forma integrada
\ln\!\left(\frac{[A]_t}{[A]_0}\right)=-kt
substituímos \dfrac{[A]_t}{[A]_0}=0,10 e resolvemos para t:
\ln(0,10)=-kt \quad\Rightarrow\quad t=\frac{-\ln(0,10)}{k}.
  • Como -\ln(0,10)=\ln(10), uma forma prática é
t=\frac{\ln 10}{k}.
Observação didática: para fração restante f vale t=\dfrac{\ln(1/f)}{k}. No caso f=0,10 temos 1/f=10.

Passo 6

Cálculo numérico do tempo para 90\% consumido.
  • Substituindo:
t=\frac{\ln 10}{k}=\frac{2,302585\ldots}{2,2\times10^{-5}\,\mathrm{s}^{-1}}.
  • Fazendo a divisão:
t\approx1,0466\times10^{5}\,\mathrm{s}.
  • Converter para horas:
1,0466\times10^{5}\,\mathrm{s}\div3600\approx29,07\,\mathrm{h}.
Convertendo a parte decimal para minutos: 0,07\times60\approx4,4 minutos, ou seja aproximadamente 29\\ \mathrm{h}\\\ 4\\ \mathrm{min}.
  • Observação útil: a razão entre esse tempo e a meia-vida é
\frac{t_{90\%}}{t_{1/2}}=\frac{\ln 10}{\ln 2}\approx3,322,
ou seja, levará cerca de 3{,}32 meias-vidas para atingir 90\% de consumo em uma reação de primeira ordem.

Resposta

a) t_{1/2}\approx3,15\times10^{4}\\ \mathrm{s}\approx8{,}75\\ \mathrm{h} (aprox. 8\\ \mathrm{h}\\\ 45\\ \mathrm{min}).
b) t_{90\%}\approx1,05\times10^{5}\\ \mathrm{s}\approx29{,}07\\ \mathrm{h} (aprox. 29\\ \mathrm{h}\\\ 4\\ \mathrm{min}).

Exercícios relacionados