Para uma reação de primeira ordem e de segunda ordem determine a relação entre:
\mathrm{t}_{3 / 4} \mathrm{e}_{1 / 2}

Passo 1

O enunciado pede que eu determine a relação entre t_{3/4} e t_{1/2} para uma reação de primeira ordem e para uma reação de segunda ordem.
Interpreto as notações assim (assunção usual em cinética):
  • t_{1/2} é o tempo necessário para que a concentração do reagente caia para metade do valor inicial, ou seja para \tfrac{[A]_0}{2}.
  • t_{3/4} é o tempo necessário para que a concentração do reagente caia para um quarto do valor inicial, ou seja para \tfrac{[A]_0}{4} (equivalente a 75% consumido).
As quantidades dadas (que vou usar) são: a concentração inicial [A]_0, a constante de velocidade k e o tempo t. O objetivo é encontrar a relação numérica entre t_{3/4} e t_{1/2} para cada ordem.

Passo 2

Primeira ordem — leis e definição das variáveis. Vou ensinar a fórmula que se usa e o que cada símbolo significa:
  • [A](t) é a concentração de A no tempo t.
  • [A]_0 é a concentração inicial (em t=0).
  • k é a constante de velocidade da reação (unidade: \mathrm{tempo}^{-1}).
    A lei integrada da cinética de primeira ordem é:
[A](t) = [A]_0 e^{-k t}.
Essa fórmula vem de integrar a equação diferencial \dfrac{d[A]}{dt} = -k[A]. Não vou pular etapas: integrar \dfrac{d[A]}{[A]} = -k\,dt \ln[A]-\ln[A]_0 = -kt, exponenciando vem a expressão acima.

Passo 3

Primeira ordem — calcular t_{1/2} e t_{3/4} e obter a relação.
  • Para t_{1/2} imponho [A](t_{1/2}) = \dfrac{[A]_0}{2}. Substituindo na lei integrada:
\dfrac{[A]_0}{2} = [A]_0 e^{-k t_{1/2}}.
Cancelando [A]_0 e resolvendo para t_{1/2}:
\dfrac{1}{2} = e^{-k t_{1/2}} \qquad\Rightarrow\qquad \ln\!\left(\dfrac{1}{2}\right) = -k t_{1/2} \qquad\Rightarrow\qquad t_{1/2} = \dfrac{\ln 2}{k}.
(Usei \ln(1/2)=-\ln 2.)
  • Para t_{3/4} imponho [A](t_{3/4}) = \dfrac{[A]_0}{4}. Substituindo:
\dfrac{[A]_0}{4} = [A]_0 e^{-k t_{3/4}}
que dá
\dfrac{1}{4} = e^{-k t_{3/4}} \qquad\Rightarrow\qquad \ln\!\left(\dfrac{1}{4}\right) = -k t_{3/4} \qquad\Rightarrow\qquad t_{3/4} = \dfrac{\ln 4}{k}.
Como \ln 4 = 2\ln 2, segue
t_{3/4} = \dfrac{2\ln 2}{k} = 2\cdot \dfrac{\ln 2}{k} = 2\,t_{1/2}.
Portanto, para primeira ordem:
t_{3/4} = 2\,t_{1/2}.

Passo 4

Segunda ordem — leis e definição das variáveis. Agora a lei integrada para uma reação de segunda ordem (tipo A \to produtos, com velocidade proporcional a [A]^2) é:
\dfrac{1}{[A](t)} = k t + \dfrac{1}{[A]_0}.
Aqui [A](t), [A]_0 e k têm o significado já explicado; observe que para segunda ordem a unidade de k é \mathrm{concentração}^{-1}\mathrm{tempo}^{-1}çã. Esta expressão vem de integrar \dfrac{d[A]}{dt} = -k[A]^2: separar variáveis e integrar \int_{[A]_0}^{[A](t)} \dfrac{d[A]}{[A]^2} = -k\int_0^t dt leva à fórmula acima.

Passo 5

Segunda ordem — calcular t_{1/2} e t_{3/4} e obter a relação.
  • Para t_{1/2} imponho [A](t_{1/2}) = \dfrac{[A]_0}{2}. Usando a lei integrada:
\dfrac{1}{[A](t_{1/2})} = k t_{1/2} + \dfrac{1}{[A]_0} \qquad\Rightarrow\qquad \dfrac{1}{[A]_0/2} = k t_{1/2} + \dfrac{1}{[A]_0}.
Como \dfrac{1}{[A]_0/2} = \dfrac{2}{[A]_0}, temos
\dfrac{2}{[A]_0} = k t_{1/2} + \dfrac{1}{[A]_0} \qquad\Rightarrow\qquad k t_{1/2} = \dfrac{1}{[A]_0} \qquad\Rightarrow\qquad t_{1/2} = \dfrac{1}{k [A]_0}.
  • Para t_{3/4} imponho [A](t_{3/4}) = \dfrac{[A]_0}{4}. Substituindo:
\dfrac{1}{[A]_0/4} = k t_{3/4} + \dfrac{1}{[A]_0}
e \dfrac{1}{[A]_0/4} = \dfrac{4}{[A]_0}, então
\dfrac{4}{[A]_0} = k t_{3/4} + \dfrac{1}{[A]_0} \qquad\Rightarrow\qquad k t_{3/4} = \dfrac{3}{[A]_0} \qquad\Rightarrow\qquad t_{3/4} = \dfrac{3}{k [A]_0}.
Comparando com t_{1/2} = \dfrac{1}{k[A]_0}, obtemos
t_{3/4} = 3\,t_{1/2}.

Passo 6

Resumo rápido e checagem numérica curta (só para sentir que bate): se eu escolher [A]_0=1 e k=1 (unidades convenientes), então para primeira ordem t_{1/2}=\ln 2\approx0,693 e t_{3/4}=\ln 4\approx1,386, ou seja exatamente o dobro; para segunda ordem t_{1/2}=1 e t_{3/4}=3, ou seja três vezes maior. Isso confirma as relações obtidas.

Resposta

\text{Primeira ordem: } t_{3/4} = 2\,t_{1/2}\n
\text{Segunda ordem: } t_{3/4} = 3\,t_{1/2}

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