Considere novamente a reação anterior, mas com
\begin{aligned} {[\mathrm{NO}]_{0} } & =1.0 \times 10^{-6} \mathrm{~mol} \mathrm{~L}^{-1} \\\ {\left[\mathrm{O}_{3}\right]_{0} } & =5.0 \times 10^{-7} \mathrm{~mol} \mathrm{~L}^{-1} \end{aligned}
Calcule a concentração de \mathrm{O}_{3} após 3.50 s .

Passo 1

O enunciado fornece e pede o seguinte:
  • Dados iniciais (pegos do enunciado):
    • [\mathrm{NO}]_{0}=1{,}0\times10^{-6}\\ \mathrm{mol\\ L^{-1}}
    • [\mathrm{O}_3]_{0}=5{,}0\times10^{-7}\\ \mathrm{mol\\ L^{-1}}
  • O que é pedido:
    • Calcular a concentração de \mathrm{O}_3 após 3{,}50\\ \mathrm{s}, isto é encontrar [\mathrm{O}_3](t=3{,}50\\ \mathrm{s}).
  • Informação que falta (necessária para um cálculo numérico):
    • A constante de velocidade \,k da reação (e a confirmação explícita da lei de velocidade). Sem o valor de \,k não é possível obter um número para [\mathrm{O}_3] em um tempo dado.

Passo 2

Escolha do método (o que vamos assumir e por quê):
  • Como o enunciado diz “Considere novamente a reação anterior” (reação típica: \mathrm{NO}+\mathrm{O}_3\to produtos) e não fornece novo detalhe aqui, a hipótese natural — e a mais usada em problemas desse tipo — é que a reação elementar tem velocidade proporcional ao produto das concentrações dos reagentes (lei de velocidade bimolecular): v = -\frac{d[\mathrm{NO}]}{dt} = -\frac{d[\mathrm{O}_3]}{dt} = k\,[\mathrm{NO}]\,[\mathrm{O}_3].
  • Explicando as grandezas:
    • [\mathrm{NO}] e [\mathrm{O}_3] são concentrações em \mathrm{mol\\ L^{-1}}.
    • k é a constante de velocidade; para uma reação bimolecular de segunda ordem do tipo A+B\to produtos, as unidades de k são \mathrm{L\\ mol^{-1}\\ s^{-1}}.
  • Método escolhido: integrar a equação diferencial de segunda ordem para o caso estequiométrico 1:1 com concentrações iniciais diferentes ( [\mathrm{NO}]_{0}\neq[\mathrm{O}_3]_{0}). Esse método é direto e dá uma expressão explícita de [\mathrm{O}_3](t) em função de k e das concentrações iniciais.

Passo 3

Definições e equações diferenciais iniciais:
  • Denoto a_0=[\mathrm{NO}]_0,\qquad b_0=[\mathrm{O}_3]_0.Assim numericamente a_0=1{,}0\times10^{-6} e b_0=5{,}0\times10^{-7}.
  • Como a estequiometria é 1:1, se consumir x mol L^{-1} de \mathrm{O}_3 então \mathrm{NO} também diminui de x. Logo [\mathrm{NO}](t)=a_0-x(t),\qquad [\mathrm{O}_3](t)=b_0-x(t).
  • A taxa escrita em termos de x(t): \frac{dx}{dt}=k\,[\mathrm{NO}]\,[\mathrm{O}_3]=k\,(a_0-x)(b_0-x).Note que x cresce com o tempo (consumo dos reagentes).

Passo 4

Usar a relação conservada [\mathrm{NO}]-[\mathrm{O}_3]=a_0-b_0 para escrever a equação para [\mathrm{O}_3] diretamente:
  • Defina \Delta=a_0-b_0 (aqui \Delta=1{,}0\times10^{-6}-5{,}0\times10^{-7}=5{,}0\times10^{-7}).
  • Como [\mathrm{NO}]=[\mathrm{O}_3]+\Delta, escrevemos a equação diferencial para B(t)=[\mathrm{O}_3](t): \frac{dB}{dt}=-k\,[\mathrm{NO}]\,[\mathrm{O}_3]=-k\,(B+\Delta)B.
  • Separando variáveis: \frac{dB}{B(B+\Delta)}=-k\,dt.

Passo 5

Integração passo a passo (frações parciais) — explico o truque:
  • Desenvolvendo a identidade de frações parciais: \frac{1}{B(B+\Delta)}=\frac{1}{\Delta}\left(\frac{1}{B}-\frac{1}{B+\Delta}\right).Isso é verificado somando as duas frações do lado direito.
  • Integrando de t=0 (onde B=b_0) até tempo t (onde B=B(t)): \int_{b_0}^{B}\frac{dB}{B(B+\Delta)}=-k\int_{0}^{t}dt.Usando a decomposição: \frac{1}{\Delta}\Bigl[\ln\!\bigl(\tfrac{B}{B+\Delta}\bigr)\Bigr]_{b_0}^{B}=-k t.Avaliando os limites: \frac{1}{\Delta}\ln\!\left(\frac{B/(B+\Delta)}{b_0/(b_0+\Delta)}\right)=-k t.Lembrando que b_0+\Delta=a_0, isto é: \frac{1}{\Delta}\ln\!\left(\frac{a_0 B}{b_0(B+\Delta)}\right)=-k t.

Passo 6

Isolar B(t)=[\mathrm{O}_3](t) — solução explícita:
  • A partir de \ln\!\left(\frac{a_0 B}{b_0(B+\Delta)}\right)=-k t\Delta,exponenciando: \frac{a_0 B}{b_0(B+\Delta)}=e^{-k t\Delta}.
  • Multiplicando e rearranjando para isolar B: a_0 B = b_0 e^{-k t\Delta}\,(B+\Delta),
B\bigl(a_0 - b_0 e^{-k t\Delta}\bigr)=b_0\Delta\,e^{-k t\Delta}.
Logo a solução para [\mathrm{O}_3](t) é
[\mathrm{O}_3](t)=B(t)=\frac{b_0\Delta\,e^{-k t\Delta}}{\,a_0 - b_0 e^{-k t\Delta}\,}.
  • Esta é a fórmula geral para a concentração de \mathrm{O}_3 no tempo t quando a lei de velocidade é v=k[\mathrm{NO}][\mathrm{O}_3] e as concentrações iniciais são a_0 e b_0 diferentes.

Passo 7

Substituir os valores numéricos conhecidos (deixando k simbólico) e avaliar em t=3{,}50\\ \mathrm{s}:
  • Aqui a_0=1{,}0\times10^{-6}, b_0=5{,}0\times10^{-7}, \Delta=a_0-b_0=5{,}0\times10^{-7}.
  • Substituindo na expressão: [\mathrm{O}_3](3{,}50\\ \mathrm{s})= \frac{(5{,}0\times10^{-7})(5{,}0\times10^{-7})\,e^{-k(3{,}50)(5{,}0\times10^{-7})}} {\,1{,}0\times10^{-6}- (5{,}0\times10^{-7})\,e^{-k(3{,}50)(5{,}0\times10^{-7})}\,}.
  • Podemos simplificar o numerador (5{,}0\times10^{-7})^2 = 2{,}5\times10^{-13}, então [\mathrm{O}_3](3{,}50\\ \mathrm{s})= \frac{2{,}5\times10^{-13}\;e^{-k\,(3{,}50)\,(5{,}0\times10^{-7})}} {\,1{,}0\times10^{-6}-5{,}0\times10^{-7}\;e^{-k\,(3{,}50)\,(5{,}0\times10^{-7})}\,}.
  • Observação prática: para obter um número final basta substituir o valor da constante k (em \mathrm{L\\ mol^{-1}\\ s^{-1}}) nessa expressão e calcular numericamente. Sem o valor de k não se pode dar um valor numérico para [\mathrm{O}_3](3{,}50\\ \mathrm{s}).

Passo 8

Resumo final e dica rápida para a prova
  • Se na prova der o valor de k, siga estes passos rápidos:
    1. Calcule \Delta=a_0-b_0.
    2. Calcule S=e^{-k t\Delta} com t=3{,}50\\ \mathrm{s}.
    3. Avalie [\mathrm{O}_3](t)=\frac{b_0\Delta\,S}{a_0 - b_0 S}.
  • Se os números forem parecidos (como aqui), não se deve usar pseudo-ordem primeira — a integração exata que fiz é a correta e direta.

Resposta

Não é possível obter um valor numérico porque a constante de velocidade k não foi fornecida. Em função de k,
[\mathrm{O}_3](3{,}50\\ \mathrm{s})= \frac{2{,}5\times10^{-13}\;e^{-k\,(3{,}50)\,(5{,}0\times10^{-7})}} {\,1{,}0\times10^{-6}-5{,}0\times10^{-7}\;e^{-k\,(3{,}50)\,(5{,}0\times10^{-7})}\,}.

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