Considere novamente a reação anterior, mas com
Calcule a concentração de
após 3.50 s .
Passo 1
O enunciado fornece e pede o seguinte:
-
Dados iniciais (pegos do enunciado):
-
-
O que é pedido:
- Calcular a concentração de
após , isto é encontrar .
- Calcular a concentração de
-
Informação que falta (necessária para um cálculo numérico):
- A constante de velocidade
da reação (e a confirmação explícita da lei de velocidade). Sem o valor de não é possível obter um número para em um tempo dado.
- A constante de velocidade
Passo 2
Escolha do método (o que vamos assumir e por quê):
- Como o enunciado diz “Considere novamente a reação anterior” (reação típica:
produtos) e não fornece novo detalhe aqui, a hipótese natural — e a mais usada em problemas desse tipo — é que a reação elementar tem velocidade proporcional ao produto das concentrações dos reagentes (lei de velocidade bimolecular): - Explicando as grandezas:
-
e são concentrações em . -
é a constante de velocidade; para uma reação bimolecular de segunda ordem do tipo produtos, as unidades de são .
-
- Método escolhido: integrar a equação diferencial de segunda ordem para o caso estequiométrico
com concentrações iniciais diferentes ( ). Esse método é direto e dá uma expressão explícita de em função de e das concentrações iniciais.
Passo 3
Definições e equações diferenciais iniciais:
- Denoto
Assim numericamente e . - Como a estequiometria é
, se consumir mol L^{-1} de então também diminui de . Logo - A taxa escrita em termos de
: Note que cresce com o tempo (consumo dos reagentes).
Passo 4
Usar a relação conservada
para escrever a equação para
diretamente:
- Defina
(aqui ). - Como
, escrevemos a equação diferencial para : - Separando variáveis:
Passo 5
Integração passo a passo (frações parciais) — explico o truque:
- Desenvolvendo a identidade de frações parciais:
Isso é verificado somando as duas frações do lado direito. - Integrando de
(onde ) até tempo (onde ): Usando a decomposição: Avaliando os limites: Lembrando que , isto é:
Passo 6
Isolar
— solução explícita:
- A partir de
exponenciando: - Multiplicando e rearranjando para isolar
:
Logo a solução para
é
- Esta é a fórmula geral para a concentração de
no tempo quando a lei de velocidade é e as concentrações iniciais são e diferentes.
Passo 7
Substituir os valores numéricos conhecidos (deixando
simbólico) e avaliar em
:
- Aqui
, , . - Substituindo na expressão:
- Podemos simplificar o numerador
, então - Observação prática: para obter um número final basta substituir o valor da constante
(em ) nessa expressão e calcular numericamente. Sem o valor de não se pode dar um valor numérico para .
Passo 8
Resumo final e dica rápida para a prova
- Se na prova der o valor de
, siga estes passos rápidos: - Calcule
. - Calcule
com . - Avalie
- Calcule
- Se os números forem parecidos (como aqui), não se deve usar pseudo-ordem primeira — a integração exata que fiz é a correta e direta.
Resposta
Não é possível obter um valor numérico porque a constante de velocidade
não foi fornecida. Em função de
,