P 3) Que hipóteses foram feitas na dedução da equação de projeto para:
(e) Defina em poucas palavras o significado de -r_{A} e-r_{A}^{\prime}. A velocidade de reação -r_{A} é uma quantidade extensiva? Explique.

Passo 1

O que o enunciado pede aqui:
  • Definir, em poucas palavras, o significado de -r_{A} e de -r_{A}^{\prime}.
  • Responder se a velocidade de reação -r_{A} é uma quantidade extensiva e explicar o porquê.
Informações implicadas no pedido (não há números nem figura): espera‑se explicação conceitual e relações entre as diferentes formas de expressar a velocidade de reação.

Passo 2

Definição e interpretação física de -r_{A}.
  • Convenção de sinais: em cinética química costuma‑se definir r_{A} como a velocidade de formação da espécie A. Se A é consumida, então r_{A}<0, e por isso costuma‑se usar -r_{A}>0 para indicar a velocidade de desaparecimento (consumo) de A.
  • Definição prática: -r_{A} é a taxa de consumo de A por unidade de volume do meio reacional (ou por unidade de massa de catalisador, dependendo da definição usada). A forma mais comum em reatores homogêneos é:
-r_{A}=\text{taxa de consumo de }A\\ \text{por unidade de volume}
com unidades típicas \mathrm{mol\;m^{-3}\;s^{-1}}.
  • Relação com a taxa total (extensiva): a taxa total de consumo de A no volume V é dada por
-\frac{dN_{A}}{dt}=\int_{V} (-r_{A})\,dV.
Se -r_{A} for aproximadamente uniforme no volume (ex.: reator bem misturado ou taxa local constante), então
-\frac{dN_{A}}{dt}=(-r_{A})\,V.
Explicação didática curta: -r_{A} diz “quantos moles de A desaparecem por segundo em cada metro cúbico do reator”.

Passo 3

Definição e interpretação física de -r_{A}^{\prime}.
  • Uso típico do apóstrofo: -r_{A}^{\prime} costuma denotar a velocidade de reação normalizada por outra grandeza que não o volume do reator. Os dois usos mais comuns são:
    • -r_{A}^{\prime} = velocidade por unidade de massa de catalisador, com unidades \mathrm{mol\;kg_{cat}^{-1}\;s^{-1}}. Nesse caso a relação entre as duas formas é:
    -r_{A}=(-r_{A}^{\prime})\;\rho_{cat},onde \rho_{cat} é a massa de catalisador por unidade de volume do reator (por exemplo \mathrm{kg_{cat}\;m^{-3}_{reactor}}). Em termos totais: -\frac{dN_{A}}{dt}=(-r_{A}^{\prime})\;m_{cat},com m_{cat} massa total de catalisador no reator.
    • Alternativamente, -r_{A}^{\prime} pode ser a velocidade por unidade de área de superfície catalítica (unidades \mathrm{mol\;m^{-2}\;s^{-1}}). Então
    -r_{A}=(-r_{A}^{\prime})\;a_{s},onde a_{s} é a área de superfície de catalisador por unidade de volume de reator ( \mathrm{m^{2}\;m^{-3}}).
  • Portanto: -r_{A}^{\prime} é uma velocidade normalizada (por massa de catalisador, por área, etc.). A escolha depende do contexto (reator homogêneo vs catalisador heterogêneo).

Passo 4

Exemplos numéricos e clareamento sobre o que muda ao dobrar o sistema (intensivo vs extensivo).
  • Suponha -r_{A}=2{,}0\\ \mathrm{mol\;m^{-3}\;s^{-1}} em um reator de V=1{,}0\\ \mathrm{m^{3}}. Então a taxa total de consumo é
-\frac{dN_{A}}{dt}=(-r_{A})V=2{,}0\times1{,}0=2{,}0\\ \mathrm{mol\;s^{-1}}.
  • Se eu duplicar o volume do reator mantendo as mesmas condições locais (mesma concentração, mesma temperatura, mesma distribuição de catalisador), -r_{A} permanece aproximadamente 2{,}0\\ \mathrm{mol\;m^{-3}\;s^{-1}} (pois é uma taxa por unidade de volume), mas a taxa total dobra:
-\frac{dN_{A}}{dt}=2{,}0\times2{,}0=4{,}0\\ \mathrm{mol\;s^{-1}}.
Isto mostra claramente a diferença entre a quantidade por unidade (intensiva) e a quantidade total (extensiva).

Passo 5

Resposta direta à pergunta sobre extensividade de -r_{A} e resumo prático.
  • -r_{A} NÃO é uma grandeza extensiva; é uma grandeza intensiva (normalizada por volume do reator quando definida nessa forma). Grandezas extensivas escalam com o tamanho do sistema (ex.: número de mols N_{A}, massa total de produto, taxa total -dN_{A}/dt ), enquanto -r_{A} expressa uma taxa por unidade de volume (ou, no caso do primado, por unidade de massa de catalisador ou de área).
  • Regra prática para a prova: quando a equação de projeto pede -r_{A}, entenda isso como “velocidade local por unidade de volume” e lembre‑se de transformar para taxa total multiplicando por V, ou, se trabalhar com catalisador, usando -r_{A}=(-r_{A}^{\prime})\rho_{cat} conforme o caso.

Resposta

-r_{A} é a taxa de consumo de A por unidade de volume do meio reacional (unidades típicas \mathrm{mol\;m^{-3}\;s^{-1}}); -r_{A}^{\prime} é a taxa normalizada por outra grandeza (tipicamente por unidade de massa de catalisador, \mathrm{mol\;kg_{cat}^{-1}\;s^{-1}}, ou por unidade de área de superfície, \mathrm{mol\;m^{-2}\;s^{-1}}).\newline
-r_{A} não é extensiva; é uma grandeza intensiva. Para obter a taxa total extensiva usa‑se -\dfrac{dN_{A}}{dt}=\displaystyle\int_{V}(-r_{A})\,dV (ou, para -r_{A}^{\prime} por massa de catalisador, -\dfrac{dN_{A}}{dt}=(-r_{A}^{\prime})\,m_{cat}).

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