A reação
\mathrm{A} \longrightarrow \mathrm{~B}
deve ser conduzida isotermicamente em um reator de escoamento contínuo. A vazão volumétrica de entrada v_{0} é de 10 \mathrm{dm}^{3} / \mathrm{h}. (Nota: F_{\mathrm{A}}=C_{\mathrm{A}} v. Para uma vazão volumétrica constante, v=v_{0}; então, F_{\mathrm{A}}=C_{\mathrm{A}} v_{0}. Também, C_{\mathrm{A} 0}=F_{\mathrm{A} 0} / v_{0}=\left([5 \mathrm{~mol} / \mathrm{h}] /\left[10 \mathrm{dm}^{3} / \mathrm{h}\right]\right)=0,5 \mathrm{mol} / \mathrm{dm}^{3}.) Calcule os volumes de ambos os reatores CSTR e PFR necessários para consumir 99 \% de A (isto é, C_{\mathrm{A}}=0,01 C_{\mathrm{A} 0} ) quando a vazão molar de entrada for de 5 \mathrm{~mol} / \mathrm{h}, assumindo que a velocidade de reação -r_{\mathrm{A}} é:
-r_{\mathrm{A}}=k C_{\mathrm{A}} \quad \operatorname{com} k=0,0001 \mathrm{~s}^{-1}

Passo 1

O que o problema pede e os dados fornecidos (peguei alguns valores do próprio enunciado):
  • Pede: calcular o volume necessário de um CSTR e de um PFR para consumir 99\% de A, isto é, chegar em C_{\mathrm{A}}=0,01\,C_{\mathrm{A}0}.
  • Dados numéricos:
    • Vazão volumétrica de entrada: v_{0}=10\\ \mathrm{dm}^{3}\!/\mathrm{h}.
    • Vazão molar de entrada: F_{\mathrm{A}0}=5\\ \mathrm{mol}/\mathrm{h}.
    • Concentração inicial: C_{\mathrm{A}0}=F_{\mathrm{A}0}/v_{0}=0,5\\ \mathrm{mol}/\mathrm{dm}^{3} (já dado no enunciado).
    • Conversão desejada: X=0{,}99, logo C_{\mathrm{A}}=C_{\mathrm{A}0}(1-X)=0{,}5\times0{,}01=0{,}005\\ \mathrm{mol}/\mathrm{dm}^{3}.
    • Lei cinética: -r_{\mathrm{A}}=k C_{\mathrm{A}} com k=0{,}0001\\ \mathrm{s}^{-1}.
  • Observação de consistência de unidades: v_{0} e F_{\mathrm{A}0} estão em horas, enquanto k está em segundos. Antes de calcular, é necessário usar unidades consistentes.

Passo 2

Converter a constante de velocidade para horas (mais prático com as vazões dadas em \mathrm{h}):
k=0{,}0001\\ \mathrm{s}^{-1}\times 3600\\ \frac{\mathrm{s}}{\mathrm{h}}=0{,}36\\ \mathrm{h}^{-1}.
Explicação curta: multiplicou-se por 3600 porque uma hora tem 3600 segundos. Assim k passa a ter unidade compatível com vazões em \mathrm{h}^{-1}.

Passo 3

Cálculo para o CSTR — derivação da equação de projeto e substituição dos valores.
  • Equilíbrio de massa em regime estacionário para CSTR (forma comum): entrada menos saída mais geração (sinal) = 0. Como a reação consome A, usa-se a forma prática
F_{\mathrm{A}0}-F_{\mathrm{A}} = (-r_{\mathrm{A}})\,V,
onde (-r_{\mathrm{A}}) é a taxa de consumo (positiva) em \mathrm{mol}/\mathrm{dm}^{3}\!/\mathrm{h}, F em \mathrm{mol}/\mathrm{h} e V em \mathrm{dm}^{3}.
  • Como F_{\mathrm{A}}=C_{\mathrm{A}}v_{0} e F_{\mathrm{A}0}=C_{\mathrm{A}0}v_{0}, a diferença de fluxos é F_{\mathrm{A}0}-F_{\mathrm{A}}=F_{\mathrm{A}0}X.
  • Logo a equação de projeto do CSTR fica
V_{\mathrm{CSTR}}=\frac{F_{\mathrm{A}0}X}{(-r_{\mathrm{A}})_{\text{saída}}}.í
  • Substituindo (-r_{\mathrm{A}})_{\text{saída}}=k\,C_{\mathrm{A}}=0{,}36\times 0{,}005=0{,}0018\\ \mathrm{mol}/\mathrm{dm}^{3}\!/\mathrm{h}í,
    e F_{\mathrm{A}0}X=5\times0{,}99=4{,}95\\ \mathrm{mol}/\mathrm{h},
V_{\mathrm{CSTR}}=\frac{4{,}95}{0{,}0018}=2750\\ \mathrm{dm}^{3}.
  • Conversões úteis: 2750\\ \mathrm{dm}^{3}=2750\\ \mathrm{L}=2{,}75\\ \mathrm{m}^{3}.
Comentário didático rápido: no CSTR usa-se a taxa no fluido de saída (porque o reator está bem misturado e toda a massa tem a concentração de saída). Por isso o denominador usa C_{\mathrm{A}} final, o que frequentemente dá volumes grandes quando a conversão exigida é alta.

Passo 4

Cálculo para o PFR — derivação da equação de projeto e integração.
  • Equação de projeto para PFR (balanço diferencial em regime estacionário, plug flow):
V_{\mathrm{PFR}}=v_{0}\int_{C_{\mathrm{A}}}^{C_{\mathrm{A}0}}\frac{dC_{\mathrm{A}}}{(-r_{\mathrm{A}})}.
  • Com -r_{\mathrm{A}}=k C_{\mathrm{A}} a integral fica
V_{\mathrm{PFR}}=v_{0}\int_{C_{\mathrm{A}}}^{C_{\mathrm{A}0}}\frac{dC_{\mathrm{A}}}{k C_{\mathrm{A}}}=\frac{v_{0}}{k}\ln\!\left(\frac{C_{\mathrm{A}0}}{C_{\mathrm{A}}}\right).
Explicação: a integral de dC_{\mathrm{A}}/C_{\mathrm{A}} \ln(C_{\mathrm{A}}); o fator v_{0}/k garante que a unidade final de V seja \mathrm{dm}^{3} quando v_{0} está em \mathrm{dm}^{3}/\mathrm{h} e k em \mathrm{h}^{-1}.
  • Substituindo v_{0}=10\\ \mathrm{dm}^{3}/\mathrm{h}, k=0{,}36\\ \mathrm{h}^{-1} e C_{\mathrm{A}0}/C_{\mathrm{A}}=0{,}5/0{,}005=100,
\frac{v_{0}}{k}=\frac{10}{0{,}36}=27{,}777\ldots\\ \mathrm{dm}^{3}, \qquad \ln(100)=4{,}605170\dots
V_{\mathrm{PFR}}=\frac{10}{0{,}36}\times \ln(100)=27{,}777\ldots\times 4{,}60517\ldots \approx 127{,}9\\ \mathrm{dm}^{3}.
  • Conversões: 127{,}9\\ \mathrm{dm}^{3}=127{,}9\\ \mathrm{L}=0{,}1279\\ \mathrm{m}^{3}.
Comentário didático: o PFR geralmente precisa de volume menor que o CSTR para reações de ordem positiva (como a primeira ordem aqui) porque concentrações altas no início do reator permitem consumo mais rápido antes de a concentração cair muito.

Passo 5

Verificação rápida de consistência e interpretação:
  • As unidades foram mantidas consistentes convertendo k para \mathrm{h}^{-1}.
  • Resultado qualitativo faz sentido: V_{\mathrm{PFR}}\ll V_{\mathrm{CSTR}} para a mesma conversão em reação de primeira ordem (aqui 127{,}9\\ \mathrm{dm}^{3} versus 2750\\ \mathrm{dm}^{3}).
  • Dica para prova: sempre comece alinhando unidades (segundos vs horas) e escolha a forma da equação de projeto adequada (CSTR: balanço global com a taxa na saída; PFR: integral com -r_{\mathrm{A}}(C_{\mathrm{A}})). Isso evita erros comuns.

Resposta

V_{\mathrm{CSTR}}=2750\\ \mathrm{dm}^{3}=2750\\ \mathrm{L}=2{,}75\\ \mathrm{m}^{3}
V_{\mathrm{PFR}}=127{,}9\\ \mathrm{dm}^{3}=127{,}9\\ \mathrm{L}=0{,}1279\\ \mathrm{m}^{3}

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