A reação 2 \mathrm{~A}_{(1)}+\mathrm{B}_{(1)} \rightarrow 4 \mathrm{R}_{(1)}+1 / 2 \mathrm{~S}_{(1)} tem a concentração molar do produto \mathbf{S} acompanhada ao longo do tempo, conforme é mostrado na tabela a seguir:
\mathbf{t}(\mathbf{s}) 5 20 40 60 120 200
\mathbf{C}_{\mathbf{s}}(\mathbf{M}) 0,16 0,45 0,60 0,72 0,81 0,86
Sabendo-se que após 200 segundos é possível considerar a reação como completa, e que a relação entre as concentrações molares iniciais dos reagentes é igual a \left(\mathrm{C}_{\mathrm{A} 0} / \mathrm{C}_{\mathrm{B} 0}\right)=2,5. Determine:
a) As concentrações iniciais de A e B .
b) O tempo de meia-vida da reação nessas condições (para C_{A} e C_{B} ).
c) A composição da mistura reacional ao final da reação.

Passo 1

O enunciado trata da reação
2\,A_{(1)} + B_{(1)} \;\longrightarrow\; 4\,R_{(1)} + \tfrac12\,S_{(1)}
em que a concentração de S ao longo do tempo é dada na tabela. Sabemos que em t=200\\ \mathrm{s} a reação está completa, então \bigl[C_S(200)\bigr]=0{,}86\\ \mathrm{M} é o máximo de S formado. Além disso, a razão das concentrações iniciais é
\frac{C_{A0}}{C_{B0}} = 2{,}5.
Queremos:
a) C_{A0} e C_{B0}.
b) Tempo de meia-vida para A e para B.
c) Composição final da mistura (concentrações de A,B,R,S ao fim).

Passo 2

Determine as concentrações iniciais usando estequiometria e o dado de razão C_{A0}/C_{B0}=2{,}5.
  1. Em t=200\\ \mathrm{s}, \bigl[C_S\bigr]=0{,}86\\ \mathrm{M}.
  2. Pela estequiometria original, um avanço \xi produz \tfrac12 mol de S por mol de reação: C_S = \tfrac12\,\xi \quad\Longrightarrow\quad \xi = 2\,C_S = 2\times0{,}86 = 1{,}72\\ \mathrm{M}.
  3. Consumo de A e B: \Delta[A] = -2\,\xi = -2\times1{,}72 = -3{,}44\\ \mathrm{M},\quad \Delta[B] = -1\,\xi = -1{,}72\\ \mathrm{M}.
  4. Como C_{A0}/C_{B0}=2{,}5, e B é reagente limitante (razão estequiométrica A/B=2 < 2{,}5), tem-se C_{B0} = 1{,}72\\ \mathrm{M},\quad C_{A0} = 2{,}5\times1{,}72 = 4{,}30\\ \mathrm{M}.

Passo 3

Calcule os tempos de meia-vida para B (limitante) e para A (excesso).
  1. Meia-vida de B ocorre quando B=C_{B0}/2=0{,}86\\ \mathrm{M}. Até esse ponto \Delta[B]=1{,}72-0{,}86=0{,}86\\ \mathrm{M}, logo \xi=0{,}86. Aí C_S = \tfrac12\,\xi = 0{,}43\\ \mathrm{M}.Na tabela, C_S=0{,}45\\ \mathrm{M} em t=20\\ \mathrm{s} e C_S=0{,}16 em 5\\ \mathrm{s}. Fazendo interpolação linear entre esses pontos para C_S=0{,}43: t - 5 = \frac{0{,}43-0{,}16}{0{,}45-0{,}16}\,(20-5) = \frac{0{,}27}{0{,}29}\,15 \approx 13{,}97\\ \mathrm{s},
t_{1/2,B}\approx 5 + 13{,}97 \approx 18{,}97\\ \mathrm{s}\approx 19\\ \mathrm{s}.
  1. Meia-vida de A ocorre quando A=C_{A0}/2=2{,}15\\ \mathrm{M}. Então \Delta[A]=4{,}30-2{,}15=2{,}15\\ \mathrm{M}, logo \xi=\tfrac{\Delta[A]}2=1{,}075. Daí C_S = \tfrac12\,\xi = 0{,}5375\\ \mathrm{M}.Entre C_S=0{,}45 em 20\\ \mathrm{s} e 0{,}60 em 40\\ \mathrm{s}, interpolamos para 0{,}5375: t - 20 = \frac{0{,}5375-0{,}45}{0{,}60-0{,}45}\,(40-20) = \frac{0{,}0875}{0{,}15}\,20 \approx 11{,}67\\ \mathrm{s},
t_{1/2,A}\approx 20 + 11{,}67 \approx 31{,}67\\ \mathrm{s}\approx 32\\ \mathrm{s}.

Passo 4

Encontre a composição final ao fim da reação ( t=200\\ \mathrm{s}):
  1. Reagentes remanescentes: [A] = C_{A0} - 2\,\xi = 4{,}30 - 2\times1{,}72 = 0{,}86\\ \mathrm{M},
[B] = C_{B0} - 1\,\xi = 1{,}72 - 1{,}72 = 0\\ \mathrm{M}.
  1. Produtos formados: [R] = 4\,\xi = 4\times1{,}72 = 6{,}88\\ \mathrm{M},
[S] = 0{,}86\\ \mathrm{M}\quad(\text{dado final}).

Resposta

a) C_{A0}=4{,}30\\ \mathrm{M}, C_{B0}=1{,}72\\ \mathrm{M}.
b) t_{1/2,B}\approx19\\ \mathrm{s}, t_{1/2,A}\approx32\\ \mathrm{s}.
c) Ao final: [A]=0{,}86\\ \mathrm{M}, [B]=0, [R]=6{,}88\\ \mathrm{M}, [S]=0{,}86\\ \mathrm{M}.

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