A reação 2 \mathrm{~A}_{(\mathrm{g})}+\mathrm{B}_{(\mathrm{g})} \rightarrow 2 \mathrm{R}_{(\mathrm{g})} é de ordem global igual a 2 e de ordens parciais iguais a 1 em relação aos reagentes A e B. A 27^{\circ} \mathrm{C}, o valor da constante de velocidade desta reação é de 38.10^{-2} \mathrm{~L} \cdot \mathrm{~mol}^{-1} \cdot \mathrm{~s}^{-1}.
Calcule o número de moles de \mathrm{A}, \mathrm{B} e R presentes após 10 minutos de reação, em um reator descontínuo de 400 litros operado a 27^{\circ} \mathrm{C}, sabendo-se que as quantidades iniciais nele introduzidas foram 2 moles de A e 3 moles de B .

Passo 1

O enunciado trata de uma reação gasosa
2\,\mathrm{A}_{(g)} + \mathrm{B}_{(g)} \longrightarrow 2\,\mathrm{R}_{(g)}
com cinética de ordem global 2 e ordens parciais 1 em A e 1 em B. A 27^\circ\mathrm{C}, a constante de velocidade vale
k = 38\times10^{-2}\,\mathrm{L\cdot mol^{-1}\cdot s^{-1}} = 0{,}38\,\mathrm{L\cdot mol^{-1}\cdot s^{-1}}.
Temos um reator descontínuo de volume V=400 L, com quantidades iniciais
\;n_{A0}=2\;\mathrm{mol},\quad n_{B0}=3\;\mathrm{mol},\quad n_{R0}=0.
Queremos saber n_A, n_B e n_R após t=10 min ( =600 s).

Passo 2

Escrevemos as equações diferenciais de balanço de massa usando a lei de velocidade
r = k\,[A]\,[B].
Como a estequiometria é 2\,A + B \to 2\,R, temos
\frac{d[A]}{dt} = -2\,r = -2\,k\,[A]\,[B], \quad \frac{d[B]}{dt} = -1\,r = -k\,[A]\,[B], \quad \frac{d[R]}{dt} = +2\,r = +2\,k\,[A]\,[B].

Passo 3

Para relacionar [A] e [B], dividimos as duas primeiras equações:
\frac{d[A]/dt}{d[B]/dt} = \frac{-2\,k\,[A]\,[B]}{-\,k\,[A]\,[B]} =2 \quad\Longrightarrow\quad \frac{d[A]}{d[B]}=2.
Integrando,
[A] - 2\,[B] = \text{const}.
No instante inicial,
[A_0]=\tfrac{2}{400}=0{,}005\;\mathrm{mol/L},
[B_0]=\tfrac{3}{400}=0{,}0075\;\mathrm{mol/L},
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[A] -2\,[B] = 0{,}005 -2\,(0{,}0075) = -0{,}01.
Isolamos então
[B] = \frac{[A] + 0{,}01}{2}.

Passo 4

Substituímos [B] na equação de [A]:
\frac{d[A]}{dt} = -2\,k\,[A]\,\frac{[A] + 0{,}01}{2} = -\,k\,[A]\,([A] + 0{,}01).
Separamos variáveis:
\int_{[A_0]}^{[A]} \frac{d[A]}{[A]\,([A]+0{,}01)} = -\,k\int_0^t dt.
Usando frações parciais,
\frac{1}{[A]([A]+a)} =\frac{1}{a}\Bigl(\frac{1}{[A]} - \frac{1}{[A]+a}\Bigr), \quad a=0{,}01,
obtém-se
\ln\!\biggl(\frac{[A]\,([A_0]+a)}{([A]+a)\,[A_0]}\biggr) = -\,a\,k\,t.
Substituindo a=0{,}01, [A_0]=0{,}005 e k=0{,}38, t=600 s, temos
a\,k\,t = 0{,}01 \times 0{,}38 \times 600 = 2{,}28, \quad \exp(-2{,}28)\approx0{,}1022,
e \tfrac{[A_0]+a}{[A_0]}=\tfrac{0{,}015}{0{,}005}=3. Assim
3\,\frac{[A]}{[A]+0{,}01} = 0{,}1022 \;\Longrightarrow\; \frac{[A]}{[A]+0{,}01}=0{,}03407 \;\Longrightarrow\; [A]=0{,}0003528\;\mathrm{mol/L}.
Então
[B]=\frac{0{,}0003528 + 0{,}01}{2} =0{,}0051764\;\mathrm{mol/L}.

Passo 5

Convertendo em número de mols no volume V=400 L:
n_A = [A]\times V = 0{,}0003528\times400 = 0{,}1411\;\mathrm{mol}, \quad n_B = [B]\times V = 0{,}0051764\times400 = 2{,}0706\;\mathrm{mol}.
O reagente R formado é
n_R = 2\,x, \quad x = \text{mol de B consumido} = n_{B0}-n_B = 3 -2{,}0706 =0{,}9294,
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n_R =2\times0{,}9294 =1{,}8588\;\mathrm{mol}.

Resposta

n_A =0,141 mol
n_B =2,071 mol
n_R =1,859 mol

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