Uma reação de 2^ a ordem A 2 B+C está ocorrendo em um reator tubular de leito empacotado com pellets esféricos de 0,4 cm de diâmetro. A reação é limitada por T.M. interna. A é alimentado puro a 3 m / s, T=250^circ C e P=500 kPa. Experimentos realizados com pellets menores (quando a reação é a etapa limitante) resultaram na medida de uma constante de taxa k^prime=50 m^6 / g cat Smol. Calcule o comprimento do leito necessário para X=80 %.
Dados:
De=2,66 * 10^-8 m^2 / s
phi=0,4
rhoc=2,0^* 10^6 g / m^3
Sa=400 m^2 / g

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado diz que temos uma reação de 2ª ordem
A → 2 B + C num reator tubular empacotado com esferas de diâmetro 0,4 cm.
A reação está limitada por transferência de massa interna (difusão no pellet).
Alimentamos A puro a 3 m/s, T=250 °C, P=500 kPa.
Com pellets bem pequenos a etapa limitante de reação (no interior) deu uma constante
k′=50 m⁶/(g_cat·s·mol). Queremos saber o comprimento L do leito para X=80%.
Conteúdo envolvido:
• Balanço de material em PFR (em função de comprimento).
• Expressão de taxa efetiva no leito levando em conta o fator de eficiência η.
• Cálculo do número de Thiele φ para reação de 2ª ordem e aproximação de η para φ ≫1.
• Integração da equação diferencial de conversão.
Para resolver vamos precisar de:
– Cálculo de C_A0 pela lei dos gases ideais.
– Definição de φ para 2ª ordem: φ² = R²·k′·ρ_c·C_A0 / D_e
– Aproximação de η ≈ 2/(3φ) (caso φ muito grande, regime de difusão limitada).
– Equação de design PFR: dX/dL = (k′·ρ_c·η·C_A0·(1–X)²)/u

Passo 2

Primeiro, achamos a concentração inicial de A, C_A0, por lei dos gases ideais:
CA0 = PR,T = 500,000;Pa8,314;Jmol·Ktimes(250+273);K approx 115;mol/m^3

Passo 3

Calculamos o raio do pellet:
R = d2 = 0,4,cm2 = 0,2,cm = 0,002,m
Agora o número de Thiele para reação de 2ª ordem:
phi^2 = R^2,k' ,rhoc,CA0De = (0,002)^2 times 50,m^6g·s·mol times 2,0times10^6,gm^3times115,molm^32,66times10^-8,m^2s
Fazendo as contas dá algo em torno de
phi^2 approx 6,9times10^12 Longrightarrow phi approx 2,6times10^6,
ou seja, φ é enorme (difusão super limitante).
Para φ≫1 e reação de ordem m=2, usamos a aproximação
eta approx m(m+1),phi = 23,phi Longrightarrow eta approx 23times2,6times10^6 approx 2,5times10^-7

Passo 4

Agora a equação de design do PFR (variação de X com L) é:
dXdL = k',rhoc,eta,CA0,(1-X)^2u
Separamos e integramos de X=0 a X=0,8:
L = integral0^L dL = integral0^0,8 uk',rhoc,eta,CA0,dX(1-X)^2
A integral L = uk',rhoc,eta,CA0;X1-X .
Então

Passo 5

Substituindo tudo:
u=3 m/s, k′=50, ρ_c=2,0×10^6 g/m³, η=2,5×10^(-7), C_A0=115 mol/m³, X=0,8 → 1−X=0,2.
L = 350cdot2,0times10^6cdot2,5times10^-7cdot115,0,80,2 approx 4,1times10^-3,m

Resposta

O comprimento do leito necessário para X=80% é cerca de
boxedL approx 0,0041;m ;(4,1;mm)

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