Em uma reação de primeira ordem, \mathrm{N}_{2} \mathrm{O} gasoso se decompõe para formar gás nitrogênio e gás oxigênio. Após 120 ms a concentração de \mathrm{N}_{2} \mathrm{O} era de 0,28 \mathrm{~mol} / \mathrm{L}, sabendo que \mathrm{k}=3,5 \mathrm{~s}^{-1}, faça:
a) Deduza a lei de velocidade integrada para uma reação qualquer de primeira ordem ( \mathrm{v}=\mathrm{k}[\mathrm{A}] ).
b) Calcule a concentração de \mathrm{N}_{2} \mathrm{O} no início da reação, e após 40 ms do início.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
  • Dados fornecidos:
    • A reação é de primeira ordem: a velocidade instantânea (de desaparecimento de A) é dada por \mathrm{v}=\mathrm{k}[\mathrm{A}].
    • Constante de velocidade: k=3,5\\ \mathrm{s}^{-1}.
    • Após 120\\ \mathrm{ms} a concentração de \mathrm{N}_2\mathrm{O} era 0,28\\ \mathrm{mol\\ L^{-1}}. Observação: 120\\ \mathrm{ms}=0,120\\ \mathrm{s}.
  • O enunciado pede:
    (a) Deduza a lei de velocidade integrada para uma reação qualquer de primeira ordem.
    (b) Calcule a concentração de \mathrm{N}_2\mathrm{O} no início da reação (ou seja, [A]_0) e a concentração após 40\\ \mathrm{ms} do início (ou seja, em t=40\\ \mathrm{ms}=0,040\\ \mathrm{s}).

Passo 2

Entender o sinal e escrever a equação diferencial básica.
Para uma reação de primeira ordem, a velocidade de desaparecimento de A pode ser escrita como
-\frac{d[\mathrm{A}]}{dt} = k[\mathrm{A}].
Aqui:
  • [\mathrm{A}] é a concentração do reagente A (no nosso caso \mathrm{N}_2\mathrm{O}), em \mathrm{mol\\ L^{-1}}.
  • t é o tempo em segundos.
  • k é a constante de velocidade com unidades de \mathrm{s}^{-1} (para primeira ordem).
    A equação acima é uma equação diferencial ordinária simples de separação de variáveis.

Passo 3

Resolver a equação diferencial por separação de variáveis.
Começamos reescrevendo a equação como
\frac{d[\mathrm{A}]}{dt} = -k[\mathrm{A}].
Separamos as variáveis colocando termos em [\mathrm{A}] de um lado e dt do outro:
\frac{d[\mathrm{A}]}{[\mathrm{A}]} = -k\,dt.
Agora integramos ambos os lados. Integramos do tempo inicial t=0 com concentração [\mathrm{A}]_0 até um tempo genérico t com concentração [\mathrm{A}](t):
\int_{[\mathrm{A}]_0}^{[\mathrm{A}](t)} \frac{d[\mathrm{A}]}{[\mathrm{A}]} = \int_{0}^{t} -k\,dt.
As integrais são logarítmicas e lineares, respectivamente. Calculando as integrais:
\ln\!\big([\mathrm{A}](t)\big) - \ln\!\big([\mathrm{A}]_0\big) = -k t.
Usando propriedades dos logaritmos (diferença = log da razão) obtemos:
\ln\!\left(\frac{[\mathrm{A}](t)}{[\mathrm{A}]_0}\right) = -k t.
Exponenciando ambos os lados (isto é, aplicando e^{(\cdot)}) chega-se à forma exponencial:
[\mathrm{A}](t) = [\mathrm{A}]_0\,e^{-k t}.
Esta é a lei integrada da velocidade para uma reação de primeira ordem. Ela mostra que a concentração decai exponencialmente com constante de tempo 1/k.

Passo 4

Usar a lei integrada para encontrar [\mathrm{A}]_0 a partir do dado experimental em t=0,120\\ \mathrm{s}.
Sabemos que em t=0,120\\ \mathrm{s} vale [\mathrm{A}](0,120)=0,28\\ \mathrm{mol\\ L^{-1}}. Pela lei integrada:
[\mathrm{A}](0,120) = [\mathrm{A}]_0\,e^{-k\cdot 0,120}.
Isolando [\mathrm{A}]_0:
[\mathrm{A}]_0 = [\mathrm{A}](0,120)\,e^{k\cdot 0,120}.
Agora substituímos os números (mostrando contas passo a passo):
k\cdot 0,120 = 3,5\times 0,120 = 0,42.
e^{0,42}\approx 1,522\quad(\text{valor aproximado de }e^{0,42}).
[\mathrm{A}]_0 = 0,28\times 1,522 \approx 0,426\\ \mathrm{mol\\ L^{-1}}.
Portanto a concentração inicial aproximada é 0,426\\ \mathrm{mol\\ L^{-1}}.

Passo 5

Calcular a concentração em t=40\\ \mathrm{ms}=0,040\\ \mathrm{s}.
Usamos a lei integrada novamente:
[\mathrm{A}](0,040) = [\mathrm{A}]_0\,e^{-k\cdot 0,040}.
Já sabemos [\mathrm{A}]_0\approx 0,426\\ \mathrm{mol\\ L^{-1}} e
k\cdot 0,040 = 3,5\times 0,040 = 0,14.
e^{-0,14}\approx 0,869.
Agora multiplicamos:
[\mathrm{A}](0,040) \approx 0,426\times 0,869 \approx 0,370\\ \mathrm{mol\\ L^{-1}}.

Passo 6

Pequena checagem e interpretação (rápida e amiga): os valores fazem sentido — a concentração decai com o tempo; em t=0 temos o maior valor 0,426\\ \mathrm{mol\\ L^{-1}}, em 0,040\\ \mathrm{s} já caiu para 0,370\\ \mathrm{mol\\ L^{-1}}, e em 0,120\\ \mathrm{s} é 0,28\\ \mathrm{mol\\ L^{-1}} como dado. Está consistente com a forma exponencial decrescente típica de cinética de primeira ordem. Força aí — deu pra ver o caminho certinho que você pode repetir na prova.

Resposta

(a) [A](t) = [A]_0\,e^{-k t}
[A]_0 = 0,426\\ \mathrm{mol\\ L^{-1}}
[A](40\\ \mathrm{ms}) = 0,370\\ \mathrm{mol\\ L^{-1}}

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