Em uma reação de primeira ordem,
gasoso se decompõe para formar gás nitrogênio e gás oxigênio. Após 120 ms a concentração de
era de
, sabendo que
, faça:
a) Deduza a lei de velocidade integrada para uma reação qualquer de primeira ordem (
).
b) Calcule a concentração de
no início da reação, e após 40 ms do início.
a) Deduza a lei de velocidade integrada para uma reação qualquer de primeira ordem (
b) Calcule a concentração de
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
- Dados fornecidos:
- A reação é de primeira ordem: a velocidade instantânea (de desaparecimento de
) é dada por . - Constante de velocidade:
. - Após
a concentração de era . Observação: .
- A reação é de primeira ordem: a velocidade instantânea (de desaparecimento de
- O enunciado pede:
(a) Deduza a lei de velocidade integrada para uma reação qualquer de primeira ordem.
(b) Calcule a concentração deno início da reação (ou seja, ) e a concentração após do início (ou seja, em ).
Passo 2
Entender o sinal e escrever a equação diferencial básica.
Para uma reação de primeira ordem, a velocidade de desaparecimento de pode ser escrita como
Para uma reação de primeira ordem, a velocidade de desaparecimento de
Aqui:
-
é a concentração do reagente (no nosso caso ), em . -
é o tempo em segundos. -
é a constante de velocidade com unidades de (para primeira ordem).
A equação acima é uma equação diferencial ordinária simples de separação de variáveis.
Passo 3
Resolver a equação diferencial por separação de variáveis.
Começamos reescrevendo a equação como
Começamos reescrevendo a equação como
Separamos as variáveis colocando termos em
de um lado e
do outro:
Agora integramos ambos os lados. Integramos do tempo inicial
com concentração
até um tempo genérico
com concentração
:
As integrais são logarítmicas e lineares, respectivamente. Calculando as integrais:
Usando propriedades dos logaritmos (diferença = log da razão) obtemos:
Exponenciando ambos os lados (isto é, aplicando
) chega-se à forma exponencial:
Esta é a lei integrada da velocidade para uma reação de primeira ordem. Ela mostra que a concentração decai exponencialmente com constante de tempo
.
Passo 4
Usar a lei integrada para encontrar
a partir do dado experimental em
.
Sabemos que em vale
. Pela lei integrada:
Sabemos que em
Isolando
:
Agora substituímos os números (mostrando contas passo a passo):
Portanto a concentração inicial aproximada é
.
Passo 5
Calcular a concentração em
.
Usamos a lei integrada novamente:
Usamos a lei integrada novamente:
Já sabemos
e
Agora multiplicamos:
Passo 6
Pequena checagem e interpretação (rápida e amiga): os valores fazem sentido — a concentração decai com o tempo; em
temos o maior valor
, em
já caiu para
, e em
é
como dado. Está consistente com a forma exponencial decrescente típica de cinética de primeira ordem. Força aí — deu pra ver o caminho certinho que você pode repetir na prova.
Resposta
(a)