Calcule \mathrm{q}, \mathrm{w}, \Delta \mathrm{U} e \Delta \mathrm{H}, para um 1,0 \mathrm{~mol} de gás perfeito que inicialmente ocupa o volume de 20 L , pressão de 1,0 \mathrm{~atm}, temperatura \mathrm{T}_{1}, e que passa pelos seguintes processos listados a seguir: (Considere para esse gás que \mathrm{Cv}, \mathrm{m}=3 / 2 \mathrm{R} para qualquer temperatura, \mathrm{R}=0,082 \mathrm{~atm} \cdot \mathrm{~L} / \mathrm{mol} \cdot \mathrm{K}, e que 1 \mathrm{atm} \cdot \mathrm{L}=101,325 \mathrm{~J} ).
Uma expansão isobárica reversível no qual seu volume passa para 40 L (Sendo \mathrm{T}_{2}=2 . \mathrm{T}_{1} ).

Passo 1

O enunciado dá e pede o seguinte (lista completa, sem resolver ainda):
  • Dados do sistema:
    • quantidade de matéria: n=1{,}0\\ \mathrm{mol}.
    • pressão inicial e constante do processo: P_{1}=1{,}0\\ \mathrm{atm} (é uma expansão isobárica).
    • volume inicial: V_{1}=20\\ \mathrm{L}.
    • volume final: V_{2}=40\\ \mathrm{L}.
    • relação entre temperaturas: T_{2}=2\cdot T_{1}.
    • capacidade térmica molar a volume constante: C_{V,\mathrm{m}}=\dfrac{3}{2}R (válido para qualquer temperatura, segundo o enunciado).
    • constante dos gases dada: R=0{,}082\\ \mathrm{atm\cdot L\cdot mol^{-1}\cdot K^{-1}}.
    • conversão: 1\\ \mathrm{atm\cdot L}=101{,}325\\ \mathrm{J}.
  • O que é pedido:
    • calcular o calor trocado q,
    • o trabalho w,
    • a variação da energia interna \Delta U,
    • e a variação da entalpia \Delta H,
      para o processo descrito.

Passo 2

Encontrar a temperatura inicial T_{1} usando a equação dos gases ideais (não resolver ainda outras grandezas). A equação dos gases ideais é
P V = n R T.
Aplicando ao estado inicial:
T_{1}=\frac{P_{1}V_{1}}{nR}.
Substituindo os valores (usar R na unidade \mathrm{atm\cdot L\cdot mol^{-1}\cdot K^{-1}} para obter T em kelvin):
T_{1}=\frac{1{,}0\\ \mathrm{atm}\times 20\\ \mathrm{L}}{1{,}0\\ \mathrm{mol}\times 0{,}082\\ \mathrm{atm\cdot L\cdot mol^{-1}\cdot K^{-1}}} =\frac{20}{0{,}082}=243{,}902439\\ \mathrm{K}.
Para efeitos práticos: T_{1}\approx 243{,}90\\ \mathrm{K}. Observação: como T_{2}=2T_{1}, temos \Delta T=T_{2}-T_{1}=T_{1}.

Passo 3

Calcular o trabalho w para uma expansão isobárica reversível.
  • Lembrete sobre convenção de sinais e fórmulas (muito importante): neste problema usamos a convenção em que a primeira lei é
\Delta U = q + w,
onde w é o trabalho feito sobre o sistema. Para uma expansão onde o sistema empurra o ambiente (faz trabalho para fora), w será negativo. Para um processo isobárico reversível com pressão P constante vale
w=-\int_{V_{1}}^{V_{2}} P\,dV = -P\,(V_{2}-V_{1}).
Aqui P=P_{1}=1{,}0\\ \mathrm{atm} (constante).
  • Calcular em \mathrm{atm\cdot L} primeiro:
w = -1{,}0\\ \mathrm{atm}\times(40-20)\\ \mathrm{L} = -20\\ \mathrm{atm\cdot L}.
  • Converter para joules usando 1\\ \mathrm{atm\cdot L}=101{,}325\\ \mathrm{J}:
w = -20\\ \mathrm{atm\cdot L}\times 101{,}325\\ \frac{\mathrm{J}}{\mathrm{atm\cdot L}} = -2\,026{,}5\\ \mathrm{J}.
Portanto w=-2\,026{,}5\\ \mathrm{J}. (Tradução física: o gás realiza trabalho de +2{,}026{,}5\\ \mathrm{J} sobre o ambiente, logo o trabalho sobre o gás é negativo.)

Passo 4

Calcular \Delta U usando \Delta U = n C_{V,\mathrm{m}} \Delta T (para gás ideal a C_V dado por mol):
  • Primeiro converter R para unidades de \mathrm{J\cdot mol^{-1}\cdot K^{-1}}, multiplicando por 101{,}325\\ \mathrm{J/(atm\cdot L)}:
R_{\mathrm{J}} = 0{,}082\\ \mathrm{atm\cdot L\cdot mol^{-1}\cdot K^{-1}}\times 101{,}325\\ \frac{\mathrm{J}}{\mathrm{atm\cdot L}} =8{,}30865\\ \mathrm{J\cdot mol^{-1}\cdot K^{-1}}.
  • Então C_{V,\mathrm{m}}=(3/2)R em joules:
C_{V,\mathrm{m}}=\frac{3}{2}R_{\mathrm{J}}=\frac{3}{2}\times 8{,}30865 =12{,}462975\\ \mathrm{J\cdot mol^{-1}\cdot K^{-1}}.
  • Como \Delta T=T_{2}-T_{1}=T_{1} (porque T_{2}=2T_{1}), e T_{1}=243{,}902439\\ \mathrm{K},
\Delta U = n C_{V,\mathrm{m}}\Delta T =1{,}0\times 12{,}462975\\ \mathrm{J\cdot mol^{-1}\cdot K^{-1}}\times 243{,}902439\\ \mathrm{K}.
  • Fazendo a multiplicação:
\Delta U \approx 3\,039{,}75\\ \mathrm{J}.
(Arredondando a três algarismos significativos: \Delta U\approx 3{,}04\times 10^{3}\\ \mathrm{J}.)

Passo 5

Calcular o calor q usando a primeira lei e também verificar \Delta H.
  • Pela primeira lei \Delta U = q + w, portanto
q = \Delta U - w.
Substituindo os valores numéricos (note que w é negativo):
q = 3\,039{,}75\\ \mathrm{J} - (-2\,026{,}5\\ \mathrm{J}) =3\,039{,}75 + 2\,026{,}5 =5\,066{,}25\\ \mathrm{J}.
(Arredondamento: q\approx 5{,}07\times 10^{3}\\ \mathrm{J}.)
  • Outra observação (confirmação didática): para um processo isobárico o calor trocado à pressão constante é igual à variação de entalpia,
q_{P}=\Delta H.
Para um gás ideal a variação de entalpia é \Delta H = n C_{P,\mathrm{m}} \Delta T, com C_{P,\mathrm{m}}=C_{V,\mathrm{m}}+R_{\mathrm{J}}=(5/2)R_{\mathrm{J}}. Calculando:
C_{P,\mathrm{m}}=\frac{5}{2}R_{\mathrm{J}}=\frac{5}{2}\times 8{,}30865=20{,}771625\\ \mathrm{J\cdot mol^{-1}\cdot K^{-1}}.
\Delta H = 1{,}0\times 20{,}771625\times 243{,}902439\approx 5\,066{,}25\\ \mathrm{J},
que coincide com q obtido pela primeira lei, como esperado.

Resposta

q=5{,}066{,}25\\ \mathrm{J}
w=-2{,}026{,}5\\ \mathrm{J}
\Delta U=3{,}039{,}75\\ \mathrm{J}
\Delta H=5{,}066{,}25\\ \mathrm{J}

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