Calcule \mathrm{q}, \mathrm{w}, \Delta \mathrm{U} e \Delta \mathrm{H}, para um 1,0 \mathrm{~mol} de gás perfeito que inicialmente ocupa o volume de 20 L , pressão de 1,0 \mathrm{~atm}, temperatura \mathrm{T}_{1}, e que passa pelos seguintes processos listados a seguir: (Considere para esse gás que \mathrm{Cv}, \mathrm{m}=3 / 2 \mathrm{R} para qualquer temperatura, \mathrm{R}=0,082 \mathrm{~atm} \cdot \mathrm{~L} / \mathrm{mol} \cdot \mathrm{K}, e que 1 \mathrm{atm} \cdot \mathrm{L}=101,325 \mathrm{~J} ).
Uma compressão isotérmica reversível no qual a pressão do sistema vai de 1,0 \mathrm{~atm} para 1,5 \mathrm{~atm}.

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Calcular q, w, \Delta U e \Delta H para 1,0 mol de gás ideal que sofre uma compressão isotérmica reversível em que a pressão do sistema vai de 1,0\\ \text{atm} para 1,5\\ \text{atm}.
Informações fornecidas (peguei estes valores do enunciado):
  • n=1{,}0\\ \text{mol}.
  • Volume inicial V_1=20\\ \text{L}.
  • Pressão inicial P_1=1{,}0\\ \text{atm}.
  • Pressão final P_2=1{,}5\\ \text{atm}.
  • Processo: isotérmico reversível (temperatura constante \,T=T_1).
  • C_{V,\text{m}}=\tfrac{3}{2}R (mas atenção: para processo isotérmico \Delta T=0, isso simplifica).
  • Constante dos gases: R=0{,}082\\ \text{atm}\cdot\text{L}\cdot\text{mol}^{-1}\cdot\text{K}^{-1}.
  • Conversão: 1\\ \text{atm}\cdot\text{L}=101{,}325\\ \text{J}.
Observação importante (convenção de sinais que vou usar — explico porque): vou usar a convenção comum em termodinâmica química em que
  • q é o calor trocado pelo sistema (positivo se recebido pelo sistema);
  • w é o trabalho entregue ao sistema (positivo se feito sobre o sistema);
  • Primeira lei: \Delta U = q + w.

Passo 2

Determinar a temperatura constante \,T_1 do gás a partir da equação de estado do gás ideal. A equação é:
P V = n R T.
Isolando T,
T_1=\frac{P_1 V_1}{nR}.
Substituindo os valores (atenção às unidades: usamos \text{atm} e \text{L} compatíveis com R):
T_1=\frac{1{,}0\\ \text{atm}\times 20\\ \text{L}}{1{,}0\\ \text{mol}\times 0{,}082\\ \text{atm}\cdot\text{L}\cdot\text{mol}^{-1}\cdot\text{K}^{-1}} =\frac{20}{0{,}082}\\ \text{K}.
Fazendo a divisão:
T_1 \approx 243{,}9\\ \text{K}.

Passo 3

Determinar o volume final V_2 no processo isotérmico. Como a temperatura é constante vale \,P V= constante, logo
P_1 V_1 = P_2 V_2 \quad\Rightarrow\quad V_2=\frac{P_1 V_1}{P_2}.
Substituindo:
V_2=\frac{1{,}0\times 20}{1{,}5}\\ \text{L}=\frac{20}{1{,}5}\\ \text{L}=13{,}333\ldots\\ \text{L}.
Arredondando convenientemente:
V_2 = 13{,}33\\ \text{L}.

Passo 4

Calcular o trabalho reversível w (trabalho feito sobre o sistema). Derivação e fórmula: para um processo quasirreversível/reversível a pressão externa é igual à pressão interna do gás e o trabalho diferencial sobre o sistema é
\mathrm{d}w = -P_{\text{ext}}\,\mathrm{d}V.
Para processo reversível P_{\text{ext}}=P_{\text{gas}}=\dfrac{nRT}{V}. Integrando entre V_1 e V_2,
w = -\int_{V_1}^{V_2} \frac{nRT}{V}\,\mathrm{d}V = -nRT\ln\!\left(\frac{V_2}{V_1}\right).
Observação: aqui w é o trabalho feito sobre o sistema — se o processo é compressão ( V_2<V_1) a razão V_2/V_1<1 e \ln(V_2/V_1)<0, fazendo w>0 (ou seja, trabalho positivo é feito sobre o sistema), que é coerente com a física do problema.
Aplicando valores (é conveniente usar nRT=P_1V_1=20\\ \text{atm}\cdot\text{L}):
w = -nRT\ln\!\left(\frac{V_2}{V_1}\right) = -20\\ \ln\!\left(\frac{13{,}333\ldots}{20}\right)\\ \text{atm}\cdot\text{L}.
Calculemos a razão e o logaritmo:
\frac{V_2}{V_1}=\frac{13{,}333\ldots}{20}=\frac{2}{3}\approx 0{,}6666667, \qquad \ln\!\left(\frac{2}{3}\right)\approx -0{,}405465.
Portanto
w = -20\times(-0{,}405465)\\ \text{atm}\cdot\text{L} = 8{,}1093\\ \text{atm}\cdot\text{L}.
Agora convertemos para joules usando 1\\ \text{atm}\cdot\text{L}=101{,}325\\ \text{J}:
w = 8{,}1093\times 101{,}325\\ \text{J}\approx 821{,}7\\ \text{J}.
Assim
w \approx +821{,}7\\ \text{J}.
(interpretação: trabalho positivo é feito sobre o sistema, porque foi comprimido.)

Passo 5

Calcular \Delta U e q. Para um gás ideal monoatômico com energia interna dependente somente da temperatura, temos \Delta U = n C_{V,\text{m}} \Delta T. Como o processo é isotérmico \Delta T=0, segue imediatamente:
\Delta U = 0.
Pela primeira lei (convenção adotada: \Delta U = q + w), temos
0 = q + w \quad\Rightarrow\quad q = -w.
Logo, em joules,
q = -821{,}7\\ \text{J}.
Interpretação: como trabalho positivo foi feito sobre o sistema durante a compressão, o sistema cede calor ao ambiente (calor saindo do sistema), portanto q negativo.

Passo 6

Calcular \Delta H. Para um gás ideal a variação de entalpia é função apenas de temperatura: \Delta H = n C_{P,\text{m}} \Delta T. Como \Delta T=0,
\Delta H = 0.

Resposta

q = -821{,}7\\ \text{J}
w = +821{,}7\\ \text{J}
\Delta U = 0\\ \text{J}
\Delta H = 0\\ \text{J}

Exercícios relacionados