Uma reação de primeira ordem está ocorrendo no interior de um catalisador poroso cilíndrico de comprimento L . Obtenha o balanço molar no estado estacionário para o reagente A e o perfil de concentração \mathrm{C}_{\mathrm{A}} / \mathrm{C}_{\mathrm{As}}.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (1) obter o balanço molar no estado estacionário para o reagente A dentro de um catalisador poroso cilíndrico de comprimento L, e (2) obter o perfil de concentração C_A/C_{As} ao longo desse comprimento.
Informações e hipóteses que vamos usar (suposições padrão para este tipo de problema, listadas explicitamente): \n
  • A reação é de primeira ordem em A, portanto a velocidade volumétrica de consumo é r_A = -k C_A, onde k é a constante de reação (unidades de tempo^{-1}). \n
  • Transporte por difusão efetiva unidimensional ao longo do eixo do cilindro (variando com a coordenada axial z que vai do centro z=0 até a superfície z=L). \n
  • Estado estacionário (nenhuma acumulação): termo de acumulação = 0. \n
  • Lei de Fick para o fluxo difusivo interno: fluxo molar (na direção z) N_A = -D_e \dfrac{dC_A}{dz}, onde D_e é a difusividade efetiva no poro. \n
  • Condições de contorno típicas para um cilindro simétrico centrado em z=0: simetria no centro \left.\dfrac{dC_A}{dz}\right|_{z=0}=0; na superfície z=L a concentração é C_A(L)=C_{As} (concentração na superfície). \n
    Observação: escolhi estas hipóteses porque o enunciado não dá detalhes extras; são as hipóteses padrão para um pellet cilíndrico poroso em problemas de difusão com reação. A partir daqui vamos derivar o balanço e resolver.

Passo 2

Montando o balanço molar estacionário em um elemento diferencial entre z e z+dz. A regra geral (estado estacionário) é: fluxo entrando menos fluxo saindo + geração (ou consumo) por reação = 0. Escrevendo isso: \n
  • Fluxo entrando em z: N_A(z) = -D_e \dfrac{dC_A}{dz}. \n
  • Fluxo saindo em z+dz: N_A(z+dz) = -D_e \dfrac{dC_A}{dz}\Big|_{z+dz}. \n
  • Consumo por reação no volume \text{d}V: (-r_A)\,\text{d}V = k C_A \cdot A_c\,dz, onde A_c é a área da seção transversal do cilindro (constante) e \text{d}V=A_c\,dz. \n
    Balanço no elemento (entrada - saída + geração = 0) dá:
N_A(z) - N_A(z+dz) - k C_A A_c\,dz = 0.
Dividindo por A_c\,dz e tomando limite dz\to0 obtemos a forma diferencial:
-\frac{1}{A_c}\frac{dN_A}{dz} - k C_A = 0.
Agora substituímos N_A = -D_e \dfrac{dC_A}{dz}. Assim:
-\frac{1}{A_c}\frac{d}{dz}\left(-D_e A_c \frac{dC_A}{dz}\right) - k C_A = 0.
Como D_e e A_c são constantes, isso simplifica para a equação diferencial ordinária:
D_e \frac{d^2 C_A}{dz^2} - k C_A = 0.
Esta é a equação do balanço molar no estado estacionário para A no interior do catalisador (forma dimensional).

Passo 3

Vamos tornar a equação mais simples usando não dimensionalização — isso simplifica a solução e introduz um parâmetro físico importante (o número de Thiele). Definimos as variáveis adimensionais:
x = \frac{z}{L}, \qquad y(x) = \frac{C_A(z)}{C_{As}}.
Aqui x varia de 0 (centro) até 1 (superfície). Derivadas transformam-se assim:
\frac{d}{dz} = \frac{1}{L}\frac{d}{dx},\qquad \frac{d^2}{dz^2} = \frac{1}{L^2}\frac{d^2}{dx^2}.
Substituindo na equação dimensional:
D_e \frac{1}{L^2}\frac{d^2 C_A}{dx^2} - k C_A = 0.
Dividindo por C_{As} e rearranjando:
\frac{d^2 y}{dx^2} - \underbrace{\frac{k L^2}{D_e}}_{\varphi^2} \, y = 0.
Definimos o parâmetro
\varphi^2 = \frac{k L^2}{D_e},
que é o quadrado do número de Thiele associado ao comprimento L. A equação adimensional final é:
\frac{d^2 y}{dx^2} - \varphi^2 y = 0.

Passo 4

Agora resolvemos a equação diferencial ordinária linear de segunda ordem com coeficientes constantes:
\frac{d^2 y}{dx^2} - \varphi^2 y = 0.
A equação característica é r^2 - \varphi^2 = 0, com raízes r = \pm \varphi. Logo a solução geral (usando exponenciais) é
y(x) = A e^{\varphi x} + B e^{-\varphi x}.
É mais conveniente escrever em termos de funções hiperbólicas (cosh e sinh), que combinam as exponenciais de forma simétrica:
y(x) = C_1 \operatorname{cosh}(\varphi x) + C_2 \operatorname{sinh}(\varphi x).
Ambas as formas são equivalentes; usaremos a forma com cosh/sinh porque facilita aplicar condição de simetria no centro.

Passo 5

Aplicamos as condições de contorno (lembre: usamos x=z/L): \n
  1. Simetria no centro z=0\Rightarrow x=0: \left.\dfrac{dC_A}{dz}\right|_{z=0}=0. Em variáveis adimensionais isso vira \left.\dfrac{dy}{dx}\right|_{x=0}=0. Diferenciando a solução,
\frac{dy}{dx} = C_1 \varphi \operatorname{sinh}(\varphi x) + C_2 \varphi \operatorname{cosh}(\varphi x).
Em x=0 temos \operatorname{sinh}(0)=0 e \operatorname{cosh}(0)=1, então
\left.\frac{dy}{dx}\right|_{0} = C_2 \varphi = 0 \quad\Rightarrow\quad C_2 = 0.
  1. Concentração na superfície z=L\Rightarrow x=1: C_A(L)=C_{As} implica y(1)=1. Com C_2=0,
y(1) = C_1 \operatorname{cosh}(\varphi) = 1 \quad\Rightarrow\quad C_1 = \frac{1}{\operatorname{cosh}(\varphi)}.
Portanto a solução adimensional é
y(x) = \frac{\operatorname{cosh}(\varphi x)}{\operatorname{cosh}(\varphi)}.

Passo 6

Voltando à notação dimensional e recolocando x=z/L, obtemos o perfil de concentração ao longo do raio axial do cilindro (do centro z=0 até a superfície z=L):
\frac{C_A(z)}{C_{As}} = \frac{\operatorname{cosh}\!\big(\varphi\, z/L\big)}{\operatorname{cosh}(\varphi)}, \qquad\text{com}\qquad \varphi = L\sqrt{\frac{k}{D_e}}.
E reenunciando o balanço molar dimensional obtido no Passo 2:
D_e \frac{d^2 C_A}{dz^2} - k C_A = 0,
com as condições de contorno \left.\dfrac{dC_A}{dz}\right|_{z=0}=0 e C_A(L)=C_{As}.

Resposta

D_e \dfrac{d^2 C_A}{dz^2} - k C_A = 0 \n
\displaystyle \frac{C_A(z)}{C_{As}} = \frac{\operatorname{cosh}\!\big(\varphi\, z/L\big)}{\operatorname{cosh}(\varphi)}\quad\text{com}\quad \varphi = L\sqrt{\dfrac{k}{D_e}}

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