TBTE 13.7B O gás ciclo-propano sofre isomerização ao gás propeno em um processo de prineira ordem. Qual é o tempo necessário para que a concentraçāo de ciclo-propano decresça de 1,0 \mathrm{~mol} \cdot \mathrm{~L}^{-1} para 0,0050 \mathrm{~mol} \cdot \mathrm{~L}^{-1}, em 500 .^{\circ} \mathrm{C} ? Use os dados da Tabela 13.1.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e faz a seguinte pergunta:
  • Reação: isomerização do gás ciclo-propano para propeno, obedecendo cinética de primeira ordem.
  • Concentração inicial: \([A]_0 = 1,0\\ \mathrm{mol\cdot L^{-1}}).
  • Concentração final desejada: \([A]_t = 0,0050\\ \mathrm{mol\cdot L^{-1}}).
  • Temperatura do processo: 500^\circ\mathrm{C}.
  • O enunciado pede: “Qual é o tempo necessário para que a concentração de ciclo-propano decresça de 1,0 para 0,0050\\ \mathrm{mol\cdot L^{-1}} em 500^\circ\mathrm{C}?”
  • Informação adicional mencionada: os dados necessários estão na Tabela 13.1 (presumivelmente constantes da equação de Arrhenius, como o fator pré-exponencial A e a energia de ativação E_a). A Tabela 13.1 não foi fornecida aqui.

Passo 2

Qual é a equação que relaciona concentrações e tempo para reação de primeira ordem? Vamos deduzir a fórmula passo a passo (isso é importante para você poder aplicar na prova sem pular etapas).
Para uma reação de primeira ordem temos a equação diferencial:
\frac{d[A]}{dt} = -k\,[A]
onde:
  • [A] é a concentração do reagente (aqui ciclo-propano) em \mathrm{mol\cdot L^{-1}},
  • t é o tempo,
  • k é a constante de velocidade para a reação (unidade típica: \mathrm{s^{-1}} se t estiver em segundos).
Separamos as variáveis e integramos:
\frac{d[A]}{[A]} = -k\,dt.
Integrando de t=0 (quando [A]=[A]_0) até t=t (quando [A]=[A]_t):
\int_{[A]_0}^{[A]_t}\frac{d[A]}{[A]} = -k\int_{0}^{t} dt.
A integral do lado esquerdo é logarítmica; obtemos:
\ln\!\left(\frac{[A]_t}{[A]_0}\right) = -k\,t.
Isolando t:
t = \frac{1}{k}\ln\!\left(\frac{[A]_0}{[A]_t}\right).
Isso é fundamental: para primeira ordem, o tempo necessário depende apenas de k e da razão [A]_0/[A]_t.

Passo 3

Agora substituímos as concentrações do enunciado na expressão que acabamos de obter para simplificar a fórmula (ainda sem precisar de k):
[A]_0 = 1,0\\ \mathrm{mol\cdot L^{-1}},\quad [A]_t = 0,0050\\ \mathrm{mol\cdot L^{-1}}.
A razão é
\frac{[A]_0}{[A]_t} = \frac{1,0}{0,0050} = 200.
Então
t = \frac{1}{k}\ln(200).
Calculemos \ln(200) para já deixar em forma numérica:
\ln(200) \approx 5,298317.
Portanto a expressão prática é
t \approx \frac{5,298317}{k}.
Observação importante sobre unidades: se k estiver em \mathrm{s^{-1}}, t estará em segundos; se k estiver em \mathrm{min^{-1}}, t estará em minutos. Tenha atenção às unidades na hora de usar k.

Passo 4

Como obtemos k à temperatura dada 500^\circ\mathrm{C}? Usamos a equação de Arrhenius:
k = A\exp\!\left(-\frac{E_a}{R\,T}\right),
onde:
  • A é o fator pré-exponencial (unidade compatível com \mathrm{s^{-1}} para primeira ordem),
  • E_a é a energia de ativação (em \mathrm{J\cdot mol^{-1}}; frequentemente a tabela dá em \mathrm{kJ\cdot mol^{-1}}, lembre-se de converter para \mathrm{J\cdot mol^{-1}} multiplicando por 1000),
  • R é a constante dos gases \(R = 8,314\\ \mathrm{J\cdot mol^{-1}\cdot K^{-1}}),
  • T é a temperatura absoluta em kelvin. Convertendo:
T = 500^\circ\mathrm{C} = 500 + 273,15 = 773,15\\ \mathrm{K}.
Portanto, uma vez conhecidos A e E_a (da Tabela 13.1), você calcula k com a fórmula acima e então obtém t por
t = \frac{1}{k}\ln(200) = \frac{1}{A\exp\!\left(-\dfrac{E_a}{R\,T}\right)}\ln(200).
Podemos rearranjar para enfatizar a dependência:
t = \frac{1}{A}\exp\!\left(\frac{E_a}{R\,T}\right)\ln(200).

Passo 5

O ponto prático: a Tabela 13.1 é necessária porque nela estão os valores de A e E_a para a isomerização ciclo-propano \to propeno. Sem esses dados não é possível calcular numericamente k e, portanto, não é possível fornecer o valor numérico do tempo t.
Como você faria na prova, passo a passo, assim que tiver os dados da tabela:
  1. Ler A (verificar unidade; para primeira ordem deve ser \mathrm{s^{-1}}) e E_a (provavelmente em \mathrm{kJ\cdot mol^{-1}}).
  2. Converter E_a para \mathrm{J\cdot mol^{-1}}: E_a(\mathrm{J}) = E_a(\mathrm{kJ})\times 1000.
  3. Calcular T = 500 + 273,15 = 773,15\\ \mathrm{K}.
  4. Calcular o expoente -E_a/(R\,T) e em seguida k = A\exp(-E_a/(R\,T)).
  5. Calcular t = \dfrac{1}{k}\ln(200).
  6. Converter t para a unidade desejada (minutos, horas) se necessário.
    Se quiser, posso fazer esses cálculos numéricos se você me fornecer os valores de A e E_a que estão na Tabela 13.1 (ou me enviar uma foto/print da tabela).

Passo 6

Resumo didático e dica de prova (amigo explicando): você já tem a forma fechada t = \dfrac{1}{k}\ln\!\bigl([A]_0/[A]_t\bigr). O trabalho na prova é obter k para a temperatura dada. A Arrhenius é a ponte entre temperatura e k. Não invente unidades: sempre ajuste E_a para \mathrm{J\cdot mol^{-1}} e use R=8,314\\ \mathrm{J\cdot mol^{-1}\cdot K^{-1}}. Se o exercício der k diretamente para a temperatura pedida na tabela, pule a Arrhenius e use direto. Calma: respira fundo — esses passos são mecânicos e você consegue fazer rápido depois de praticar uma vez.

Resposta

Não é possível calcular numericamente o tempo solicitado porque a Tabela 13.1 (que contém os valores de A e E_a necessários para obter a constante k à temperatura 500^\circ\mathrm{C} via equação de Arrhenius) não foi fornecida.

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