A reação química do tipo 3 \mathrm{~A} \rightarrow \mathrm{P}, apresenta cinética de 3^{\underline{a}} ordem, com constante composto? cinética na ordem de 3,5 \times 10^{-4} \mathrm{~L}^{2} / \mathrm{mol}^{2}.s. Sabendo que a espécie gasosa apresenta um decréscimo de concentração igual a 7,70 \times 10^{-2} \mathrm{~mol} / \mathrm{L} para 2,1 \times 10^{-2} \mathrm{~mol} / \mathrm{L}, calcule o tempo necessário para esta diminuição.
  • Reação 3å ordem \frac{1}{[A]^{2}{ }_{\text {final }}}-\frac{1}{[A]^{2}{ }_{\text {inicial }}}=2 \mathrm{Kt}

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (vou listar exatamente o que foi fornecido):
  • Reação: 3\mathrm{A}\rightarrow \mathrm{P}.
  • Cinética: 3ª ordem (termolecular) com constante k = 3{,}5\times 10^{-4}\\ \mathrm{L}^{2}\!/\mathrm{mol}^{2}\cdot\mathrm{s}.
  • Concentração inicial de A: [\mathrm{A}]_{\text{inicial}} = 7{,}70\times 10^{-2}\\ \mathrm{mol}/\mathrm{L}.
  • Concentração final de A: [\mathrm{A}]_{\text{final}} = 2{,}10\times 10^{-2}\\ \mathrm{mol}/\mathrm{L}.
  • Fórmula integrada que o enunciado forneceu para reação de 3ª ordem:
\frac{1}{[\mathrm{A}]^{2}_{\text{final}}}-\frac{1}{[\mathrm{A}]^{2}_{\text{inicial}}}=2kt.
O que o problema pede: calcular o tempo t necessário para que a concentração caia de [\mathrm{A}]_{\text{inicial}} para [\mathrm{A}]_{\text{final}}.

Passo 2

Entendendo a lei de velocidade e deduzindo a expressão integrada (passo pedagógico):
  • Para uma reação de 3ª ordem do tipo 3\mathrm{A}\rightarrow produtos, a lei diferencial de velocidade é
-\frac{d[\mathrm{A}]}{dt}=k[\mathrm{A}]^{3},
onde k é a constante de velocidade com unidades \mathrm{L}^{2}\!/\mathrm{mol}^{2}\cdot\mathrm{s}, t é o tempo em segundos e [\mathrm{A}] é a concentração em \mathrm{mol}/\mathrm{L}.
  • Para obter a relação entre concentrações e tempo, separamos variáveis:
\int_{[\mathrm{A}]_{0}}^{[\mathrm{A}]} [\mathrm{A}]^{-3}\,d[\mathrm{A}] = -\int_{0}^{t} k\,dt.
  • Calculando a integral à esquerda:
\int [\mathrm{A}]^{-3}\,d[\mathrm{A}] = \frac{[\mathrm{A}]^{-2}}{-2} = -\frac{1}{2[\mathrm{A}]^{2}}.
  • Aplicando os limites e reordenando obtemos exatamente a fórmula dada:
\frac{1}{[\mathrm{A}]^{2}_{\text{final}}}-\frac{1}{[\mathrm{A}]^{2}_{\text{inicial}}}=2kt.
  • Nesta fórmula:
    • [\mathrm{A}]_{\text{inicial}} é a concentração no tempo t=0.
    • [\mathrm{A}]_{\text{final}} é a concentração no tempo t que queremos encontrar.
    • k é a constante de velocidade (mesmas unidades já listadas).

Passo 3

Isolando t da expressão integrada:
t=\frac{1}{2k}\left(\frac{1}{[\mathrm{A}]^{2}_{\text{final}}}-\frac{1}{[\mathrm{A}]^{2}_{\text{inicial}}}\right).
Agora vamos calcular passo a passo os termos numéricos usando as concentrações fornecidas.

Passo 4

Cálculos numéricos passo a passo (sem pular etapas):
  • Calcular os quadrados das concentrações: [\mathrm{A}]^{2}_{\text{final}}=(2{,}10\times 10^{-2})^{2}=0{,}021^{2}=0{,}000441=4{,}41\times 10^{-4}\\ \mathrm{(mol/L)}^{2}.
[\mathrm{A}]^{2}_{\text{inicial}}=(7{,}70\times 10^{-2})^{2}=0{,}077^{2}=0{,}005929=5{,}929\times 10^{-3}\\ \mathrm{(mol/L)}^{2}.
  • Calcular os recíprocos: \frac{1}{[\mathrm{A}]^{2}_{\text{final}}}=\frac{1}{4{,}41\times 10^{-4}}\approx 2267{,}573696\\ \mathrm{L^{2}/mol^{2}}.
\frac{1}{[\mathrm{A}]^{2}_{\text{inicial}}}=\frac{1}{5{,}929\times 10^{-3}}\approx 168{,}6629479\\ \mathrm{L^{2}/mol^{2}}.
  • Diferença entre os recíprocos: \frac{1}{[\mathrm{A}]^{2}_{\text{final}}}-\frac{1}{[\mathrm{A}]^{2}_{\text{inicial}}}\approx 2267{,}573696-168{,}6629479=2098{,}9107481\\ \mathrm{L^{2}/mol^{2}}.
  • Agora calcular t usando 2k=2\cdot 3{,}5\times 10^{-4}=7{,}0\times 10^{-4}\\ \mathrm{L^{2}/mol^{2}\cdot s}: t=\frac{2098{,}9107481}{7{,}0\times 10^{-4}}\\ \mathrm{s} \approx 2{,}998{,}444{,}0\\ \mathrm{s}.
  • Conversões úteis: 2{,}998{,}444{,}0\\ \mathrm{s}\div 3600 \approx 833{,}5\\ \mathrm{h},
2{,}998{,}444{,}0\\ \mathrm{s}\div 86400 \approx 34{,}73\\ \mathrm{dias}.
Unidade e checagem rápida: a unidade final é segundo, consistente porque o fator \mathrm{L^{2}/mol^{2}} cancela entre o recíproco das concentrações e k.

Passo 5

Interpretação curta e incentivo: o tempo calculado é bem grande (algumas dezenas de dias), o que pode acontecer para reações de ordem alta com constantes k pequenas. Vai ficar tudo certo — anota esse procedimento na sua folha: separar, integrar, isolar t e calcular numericamente; isso resolve qualquer questão parecida na prova.

Resposta

t\approx 2{,}998\times 10^{6}\\ \mathrm{s}\approx 34{,}7\\ \mathrm{dias}

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